Планиметрия — 1 932 задачи

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису $l_c$, если $a=12$, $b=16$ и $c=14$.

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 67^\circ$ и $\angle BDC = 28^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = \sqrt{7}$, $b = \sqrt{10}$ и $c = 3$.

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, а высота фонаря 5 м?

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $14$. Найдите периметр ромба.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 28$, $\tg A = \dfrac{10}{7}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 21^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 111^\circ$, угол $2 = 18^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м?

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{6}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 3. Найдите площадь треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 50$. Найдите $BC$.

В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 5$, $AC = \sqrt{19}$. Найдите синус угла $BAC$.

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 30. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $\angle 3$, если $\angle 1 = 22^\circ$, $\angle 2 = 138^\circ$. Ответ дайте в градусах.

На поверхности глобуса фломастером проведены 21 параллель и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 18 и 24. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 12. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$, $BC = 12$. Найдите радиус окружности.

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 10$, $BC = 24$. Найдите радиус окружности.

Ящик, имеющий форму куба с ребром 40 см без одной грани, нужно покрасить снаружи со всех сторон. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.