ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 13, 16 · ЕГЭ

Подобие треугольников

Признаки подобия, коэффициент подобия и пропорции в задачах
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Подобные треугольники имеют одинаковую форму: соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Подобие позволяет заменять сложную фигуру более простой и находить неизвестные длины с помощью пропорций.

Что такое подобные треугольники

Перед изучением подобия полезно повторить равенство треугольников: равные треугольники совпадают по форме и размеру, а подобные могут отличаться размером. Например, при увеличении фотографии её форма сохраняется, но все длины умножаются на один и тот же коэффициент.

D
Определение

Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Запись \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) означает соответствие \(A\leftrightarrow A_1\), \(B\leftrightarrow B_1\), \(C\leftrightarrow C_1\).

\[\angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1\]
\[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{C_1A_1}=k\]

Число \(k\) называют коэффициентом подобия первого треугольника ко второму. Если \(k>1\), первый треугольник больше второго; если \(0<k<1\), первый меньше. При \(k=1\) треугольники имеют одинаковые размеры и фактически являются равными.

ABCA₁B₁C₁
Подобные треугольники: \(A\leftrightarrow A_1\), \(B\leftrightarrow B_1\), \(C\leftrightarrow C_1\).

Признаки подобия треугольников

Чтобы доказать подобие, не нужно каждый раз проверять все шесть условий. Достаточно одного из трёх признаков.

T
Первый признак: по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Третий угол также равен, потому что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).

T
Второй признак: по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

T
Третий признак: по трём сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.

На практике первый признак часто возникает при пересечении прямых: вертикальные углы равны. Также равенство углов появляется при параллельных прямых: соответственные и накрест лежащие углы равны.

Проверь себя

У треугольников известны отношения трёх соответствующих сторон: \(2\), \(2\), \(2\). Какой признак подобия применим?

Коэффициент подобия и следствия

Главное правило — стороны нужно сопоставлять только по соответствующим вершинам. Если \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\), то стороне \(AB\) соответствует \(A_1B_1\), стороне \(BC\) — \(B_1C_1\), а стороне \(CA\) — \(C_1A_1\).

\[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{C_1A_1}=k\]

Из подобия следуют равенства отношений периметров и площадей. Периметры относятся как соответствующие стороны, а площади — как квадраты коэффициента подобия.

\[\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}}=k,\qquad \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]

Если известны площади, коэффициент находят так:

\[k=\sqrt{\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}}\]
Запомните

Линейные размеры и периметры меняются в \(k\) раз, площади — в \(k^2\) раз. Поэтому из отношения площадей нельзя сразу получить отношение сторон: нужно извлечь квадратный корень.

Как решать задачи на пропорции

  1. Установите, какие треугольники подобны, и запишите их в порядке соответствующих вершин.
  2. Найдите соответствующие стороны: одинаковые буквы в записи должны занимать одинаковые позиции.
  3. Составьте пропорцию или найдите коэффициент подобия.
  4. Решите пропорцию и проверьте, соответствует ли ответ масштабу фигур.

Если в задаче есть параллельные отрезки, пересекающие стороны треугольника, обычно возникают подобные треугольники. Такой приём связан со свойствами средней линии треугольника, а в более сложных конфигурациях может потребоваться теорема Чевы или теорема Менелая.

№
Разобранный пример

В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in AB\) и \(E\in AC\), причём \(DE\parallel BC\). Известно: \(AD=6\), \(AB=10\), \(AC=15\). Найдём \(AE\).

1
У треугольников \(ADE\) и \(ABC\) угол \(A\) общий, а из параллельности \(DE\parallel BC\) следует равенство углов при вершинах \(D\) и \(B\), а также \(E\) и \(C\). Значит, треугольники подобны по двум углам.
\(\displaystyle \triangle ADE\sim\triangle ABC\)
2
Сопоставляем стороны: \(AD\) соответствует \(AB\), а \(AE\) — \(AC\).
\(\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
3
Подставляем известные значения.
\(\displaystyle \frac{6}{10}=\frac{AE}{15}\)
4
Умножаем обе части на \(15\).
\(\displaystyle AE=15\cdot\frac{6}{10}=9\)
5
Проверяем: меньшему треугольнику соответствует меньшая сторона, и \(9<15\).
\(\displaystyle \boxed{AE=9}\)

В задачах с высотами и расстояниями подобие часто помогает получить ответ без применения сложных формул. Например, прямоугольные треугольники могут быть подобны по равному острому углу, а затем пропорция связывает высоту, тень и расстояние.

Типичные ошибки и дополнительные связи

!
Частые ошибки

1. Неверно сопоставлены вершины: запись \(\triangle ABC\sim\triangle A_1C_1B_1\) задаёт другое соответствие. 2. Перепутан коэффициент: если первый треугольник вдвое больше второго, то \(k=2\), а обратный коэффициент равен \(\frac12\). 3. Для площадей используют \(k\), а не \(k^2\). 4. В пропорции сравнивают несоответствующие стороны. 5. По одному равному углу подобие не доказывают.

Приём проверки

Подпишите возле каждой стороны, какой стороне второго треугольника она соответствует. После вычисления сравните размеры: если большая сторона одного треугольника сопоставлена меньшей стороной другого, коэффициент должен отражать это.

Подобие применяется и при работе с элементами треугольника: медианами, высотами и биссектрисами. Свойства этих отрезков изучаются на странице элементы треугольника; отдельные пропорции для биссектрис разобраны в теме теорема о биссектрисе треугольника. При вычислении неизвестных сторон иногда удобно дополнительно использовать теорему Пифагора.

Быстрая проверка

Q
Быстрый тест по теме

Проверьте понимание темы

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · Определение
Что равно отношению соответствующих сторон подобных треугольников?
Главное за минуту

Главное

  • Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны.
  • Подобие доказывают по двум углам, по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам.
  • Коэффициент подобия — отношение соответствующих линейных размеров; периметры относятся как \(k\), площади — как \(k^2\).
  • В задачах сначала определяют соответствие вершин, затем составляют пропорцию и проверяют смысл ответа.
  • Параллельные прямые, вертикальные углы и прямоугольные треугольники часто помогают обнаружить подобие.