Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=-5-\dfrac{x-2}{x^2-2x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
5 шаговНайдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$x^2-2x=x(x-2)\ne0,\quad x\ne0,\ x\ne2$$Сократим дробь на множитель $x-2$, но сохраним ограничение $x\ne2$:
$$y=-5-\dfrac{x-2}{x(x-2)}=-5-\dfrac1x,\quad x\ne0,\ x\ne2$$Основой графика является гипербола $y=-5-\dfrac1x$. Её вертикальная асимптота — прямая $x=0$, горизонтальная асимптота — прямая $y=-5$. Из-за ограничения $x\ne2$ на графике отсутствует точка:
$$y(2)=-5-\dfrac12=-\dfrac{11}{2},\quad \left(2,-\dfrac{11}{2}\right)$$Найдём значения $m$, при которых прямая $y=m$ не пересекает график. При $m\ne-5$ уравнение пересечения имеет решение:
$$m=-5-\dfrac1x\quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac1{m+5}$$Если $m=-5$, уравнение $-5=-5-\dfrac1x$ решений не имеет. Если найденная абсцисса равна запрещённому значению $x=2$, точка пересечения является выколотой. Найдём соответствующее значение $m$:
$$2=-\dfrac1{m+5}\quad\Longrightarrow\quad m+5=-\dfrac12\quad\Longrightarrow\quad m=-\dfrac{11}{2}$$График — гипербола $y=-5-\dfrac1x$ с асимптотами $x=0$ и $y=-5$, из которой удалена точка $\left(2,-\dfrac{11}{2}\right)$. Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком при $m=-5$ и $m=-\dfrac{11}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сокращают дробь и забывают, что $x=2$ исключено из области определения.
Указывают только значение $m=-5$ и не учитывают выколотую точку.
Называют точкой разрыва точку с координатами $\left(2,-5\right)$ вместо $\left(2,-\dfrac{11}{2}\right)$.