Движение по окружности
Движение по окружности удобно описывать двумя способами: длиной пройденной дуги и углом поворота радиуса. Поэтому для одной и той же точки используют линейную скорость \(v\) и угловую скорость \(\omega\). Ниже собраны связи между ними, а также с периодом, частотой и центростремительным ускорением.
Основные величины и определения
Пусть материальная точка движется по окружности радиуса \(R\). За время \(t\) она проходит дугу длиной \(s\) и поворачивается на угол \(\varphi\), выраженный в радианах. Угловая скорость показывает, насколько быстро изменяется угол поворота, а линейная скорость — как быстро изменяется длина дуги.
Линейная скорость \(v\) — векторная величина, равная отношению пройденного пути к промежутку времени при равномерном движении. При движении по окружности её направление в каждой точке совпадает с касательной к окружности.
Угловая скорость \(\omega\) равна отношению углового перемещения к времени: \(\omega=\frac{\varphi}{t}\) при равномерном вращении. Её единица СИ — радиан в секунду.
Период обращения \(T\) — время одного полного оборота. Частота обращения \(\nu\) — число полных оборотов за единицу времени. Эти величины взаимно обратны.
Связь линейной и угловой скорости
За один полный оборот точка проходит окружность длиной \(2\pi R\), а радиус поворачивается на угол \(2\pi\) радиан. Поэтому при равномерном движении по окружности линейная скорость связана с угловой так:
Эта формула верна и для мгновенных величин при неравномерном вращении: в каждый момент \(v=\omega R\), если радиус окружности постоянен. Из неё следуют обратные зависимости:
Если угловая скорость одинакова, точки, находящиеся дальше от оси, движутся быстрее по окружности. Например, край диска имеет большую линейную скорость, чем точка, расположенная ближе к центру, хотя обе точки делают оборот за одно и то же время.
Период, частота и угловая скорость
За время \(T\) точка проходит путь \(2\pi R\). Поэтому линейная скорость равна отношению длины окружности к периоду:
Так как частота — величина, обратная периоду, \(\nu=\frac{1}{T}\), получаем ещё одну форму:
За один оборот угол изменяется на \(2\pi\), поэтому угловая скорость:
Для равномерного движения по окружности справедливы равенства \(\nu=\frac{1}{T}\), \(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu\) и \(v=\omega R=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu\). Выбирайте форму, в которой известны все величины, кроме искомой.
Колесо радиуса \(0{,}5\) м вращается с частотой \(2\) Гц. Чему равна линейная скорость точки на ободе?
Центростремительное ускорение
Даже если модуль линейной скорости постоянен, её направление непрерывно меняется. Поэтому движение по окружности является ускоренным. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и изменяет направление скорости.
Подставляя \(v=\omega R\), получаем форму через угловую скорость:
Через период и частоту формулы имеют вид:
При равномерном движении по окружности ускорение перпендикулярно линейной скорости и направлено к центру. Если скорость постоянна по модулю, это ускорение не разгоняет и не тормозит точку, а только меняет направление её движения.
При неравномерном движении по окружности дополнительно возникает тангенциальное ускорение, направленное по касательной. Полное ускорение складывается из нормального и тангенциального; подробнее это рассматривается в теме ускорения при криволинейном движении. Сила, вызывающая направленное к центру ускорение, называется центростремительной силой.
Разобранный пример
Тело движется по окружности радиуса \(R=2\) м с периодом \(T=4\) с. Найдите частоту, угловую и линейную скорости, а также центростремительное ускорение.
Проверка возможна по другой формуле: \(a_{цс}=\frac{4\pi^2R}{T^2}=\frac{4\pi^2\cdot2}{16}=\frac{\pi^2}{2}\) м/с². Совпадение подтверждает решение.
Не путайте радиус с диаметром: в формулах используется \(R\), а не \(2R\). Не забывайте множитель \(2\pi\) при переходе от периода к угловой скорости. Частота измеряется в герцах, а угловая скорость — в рад/с. Наконец, при равномерном движении ускорение не равно нулю: меняется направление скорости.
Если дан период, начинайте с \(\nu=1/T\) и \(\omega=2\pi/T\). Если дана частота, используйте \(\omega=2\pi\nu\). Для линейной скорости выбирайте \(v=\omega R\), \(v=2\pi R/T\) или \(v=2\pi R\nu\) — в зависимости от исходных данных.
Связь с другими видами движения
Равномерное движение по окружности означает постоянство модуля скорости, но не постоянство её направления. Угловое перемещение описывается в теме угловое перемещение, а изменение угловой скорости — в теме угловое ускорение. При движении по вертикальной окружности дополнительно учитывают тяжесть и изменение скорости; это разобрано на странице движение по вертикальной окружности. Для сравнения, при свободном падении ускорение направлено вертикально вниз и имеет почти постоянный модуль \(g\).
Проверь себя
Главное
- За один оборот точка проходит путь \(2\pi R\) и поворачивается на угол \(2\pi\).
- Связь линейной и угловой скоростей: \(v=\omega R\).
- Период и частота взаимно обратны: \(\nu=1/T\).
- Угловая скорость: \(\omega=2\pi/T=2\pi\nu\).
- Центростремительное ускорение: \(a_{цс}=v^2/R=\omega^2R=4\pi^2R/T^2\); оно направлено к центру окружности.