ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 2, 18 · ЕГЭ

Ускорения при криволинейном движении

Как находить тангенциальную и нормальную составляющие ускорения тела при движении по кривой
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

При криволинейном движении скорость тела может изменяться и по модулю, и по направлению. Поэтому полное ускорение удобно разложить на взаимно перпендикулярные тангенциальную и нормальную составляющие.

Зачем разлагать ускорение

Ускорение — векторная величина, характеризующая изменение скорости за единицу времени. Вектор скорости направлен по касательной к траектории, поэтому при движении по кривой он может изменяться по двум причинам: тело начинает двигаться быстрее или медленнее; меняется направление движения.

D
Определение

Тангенциальное ускорение \(\vec a_\tau\) направлено по касательной к траектории. Оно отвечает за изменение модуля скорости. Нормальное ускорение \(\vec a_n\) направлено перпендикулярно скорости, к центру кривизны траектории, и отвечает за изменение направления скорости.

Полное ускорение является векторной суммой этих составляющих. Так как касательная и нормаль перпендикулярны, модуль полного ускорения находят по теореме Пифагора. Подробные свойства составляющих разобраны на страницах тангенциальное ускорение и нормальное ускорение.

\(a\)
полное ускорение
м/с²
\(a_\tau\)
тангенциальное ускорение
м/с²
\(a_n\)
нормальное ускорение
м/с²
\(v\)
скорость
м/с
\(R\)
радиус кривизны
м
\[\vec a=\vec a_\tau+\vec a_n\]
\[a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}\]

Направления и физический смысл

Тангенциальная составляющая лежит вдоль касательной. Если скорость возрастает, \(\vec a_\tau\) направлен так же, как скорость; если скорость уменьшается, он направлен противоположно скорости. При постоянном модуле скорости тангенциальное ускорение равно нулю.

Нормальная составляющая всегда перпендикулярна мгновенной скорости. Она направлена внутрь кривизны: для движения по окружности — к центру окружности. Даже при постоянной скорости по модулю нормальное ускорение может быть ненулевым, потому что направление вектора скорости непрерывно меняется.

va_na_τтело
Разложение ускорения в точке траектории: \(\vec a_\tau\) — по касательной, \(\vec a_n\) — по нормали.
T
Основные формулы

Тангенциальное ускорение определяется изменением модуля скорости, а нормальное — изменением её направления.

\[a_\tau=\frac{dv}{dt}\]
\[a_n=\frac{v^2}{R}\]

Здесь \(R\) — радиус кривизны траектории. Для прямолинейного движения \(R\to\infty\), поэтому \(a_n=0\). Для движения по окружности \(R\) постоянно и совпадает с радиусом окружности. Если известны угол \(\alpha\) между полным ускорением и касательной, то

\[\tan\alpha=\frac{a_n}{a_\tau}\]

Особые случаи движения

  • Равномерное прямолинейное движение: \(a_\tau=0\), \(a_n=0\), поэтому \(a=0\).
  • Неравномерное прямолинейное движение: \(a_n=0\), а \(a=|a_\tau|\).
  • Равномерное движение по окружности: \(a_\tau=0\), \(a_n=v^2/R\), поэтому ускорение направлено к центру.
  • Неравномерное движение по окружности: ненулевы обе составляющие; одна изменяет скорость, другая поворачивает её вектор.
Микро-проверка

Мяч движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Какая составляющая ускорения равна нулю?

Алгоритм шешімдер тапсырма

В задачах экзамена важно сначала определить, что именно меняется: модуль скорости, направление или оба параметра. Затем выбирают формулы составляющих и объединяют их в полное ускорение. Если движение происходит по окружности, радиус обычно дан явно или его можно найти из геометрии.

  1. Запишите известные величины и переведите их в СИ.
  2. Определите радиус кривизны \(R\) и скорость \(v\).
  3. Найдите \(a_\tau\) по изменению скорости во времени.
  4. Найдите \(a_n=v^2/R\).
  5. Сложите составляющие векторно: для перпендикулярных направлений используйте \(a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}\).
  6. Проверьте направление полного ускорения и единицы измерения.

Разобранный пример

№
Ускорение на закруглённом участке

Автомобиль движется по дуге окружности радиусом \(R=50\ \text{м}\). За \(5\ \text{с}\) его скорость равномерно возрастает от \(10\) до \(20\ \text{м/с}\). Найдите тангенциальное, нормальное и полное ускорения в конце этого интервала.

1
Сначала найдём изменение скорости за время \(\Delta t=5\ \text{с}\). Поскольку скорость возрастает равномерно, тангенциальное ускорение постоянно.
\(\displaystyle a_\tau=\frac{v_2-v_1}{\Delta t}=\frac{20-10}{5}=2\ \text{м/с}^2\)
2
Нормальное ускорение в конце интервала вычисляется по конечной скорости \(v_2=20\ \text{м/с}\).
\(\displaystyle a_n=\frac{v_2^2}{R}=\frac{20^2}{50}=8\ \text{м/с}^2\)
3
Составляющие перпендикулярны, поэтому применяем теорему Пифагора.
\(\displaystyle a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}\approx8{,}25\ \text{м/с}^2\)
4
Полное ускорение образует с касательной угол \(\alpha\), который можно найти по тангенсу.
\(\displaystyle \tan\alpha=\frac{a_n}{a_\tau}=\frac{8}{2}=4,\qquad \alpha\approx76^\circ\)

Жауабы: \(a_\tau=2\ \text{м/с}^2\), \(a_n=8\ \text{м/с}^2\), \(a\approx8{,}25\ \text{м/с}^2\). Большой вклад в полное ускорение даёт нормальная составляющая: автомобиль быстро меняет направление движения.

!
Частые ошибки

1. Складывать \(a_\tau\) и \(a_n\) арифметически. Они перпендикулярны, поэтому нужен корень из суммы квадратов. 2. Считать \(a_n=0\) при постоянной скорости. Постоянство модуля не означает постоянство направления. 3. Использовать начальную скорость для нормального ускорения в конце интервала. 4. Забывать, что \(a_\tau\) может быть отрицательным при торможении, хотя в формуле для модуля полного ускорения используется его квадрат. 5. Путать радиус окружности с диаметром.

Приём для проверки

Представьте стрелку скорости. Если она становится длиннее или короче, появляется тангенциальное ускорение; если поворачивается — нормальное. При движении по кривой обычно происходят оба изменения.

Связь с движением по окружности

Для равномерного движения по окружности \(a_\tau=0\), а всё ускорение является нормальным. Оно не направлено по радиусу наружу: вектор ускорения всегда направлен к центру окружности. Линейная скорость при этом касается окружности, а связь угловых и линейных величин разобрана на странице связь угловой и линейной скорости. Общий случай движения по окружности рассмотрен в движении по окружности.

Криволинейное ускорение полезно связывать с графиками: по графику скорости можно определить изменение модуля скорости и оценить \(a_\tau\). Направление и положение тела удобно отслеживать с помощью графика координаты от времени, если движение задано координатным законом.

Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · Направление
Куда направлено нормальное ускорение при движении по окружности?
Главное за минуту

Главное

  • Полное ускорение раскладывается на перпендикулярные \(\vec a_\tau\) и \(\vec a_n\).
  • \(a_\tau=dv/dt\) изменяет модуль скорости, а \(a_n=v^2/R\) изменяет её направление.
  • Модуль полного ускорения равен \(a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}\).
  • При равномерном движении по окружности тангенциальное ускорение равно нулю, но нормальное ненулевое.
  • В есепке сначала определите, что меняется: модуль скорости, направление или оба параметра.