Равномерное движение по окружности
При равномерном движении по окружности модуль скорости тела постоянен, но направление скорости непрерывно изменяется. Главная связь темы: за один период тело проходит длину окружности \(2\pi R\), поэтому линейная скорость, угловая скорость и период выражаются друг через друга.
Основные величины и определения
Рассмотрим тело, движущееся по окружности радиуса \(R\). Угловая скорость показывает, какой угол поворота радиус-вектора тело совершает за единицу времени. При равномерном движении угловая скорость постоянна. Угол измеряют в радианах: полный оборот соответствует углу \(2\pi\) рад.
Равномерное движение по окружности — движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит равные дуги окружности. Модуль линейной скорости постоянен, а её направление в каждой точке направлено по касательной к окружности.
Период \(T\) — время, за которое тело совершает один полный оборот. Единица периода в СИ — секунда.
Связь периода, пути и линейной скорости
За один полный оборот тело проходит путь, равный длине окружности. Поэтому средняя скорость за период совпадает с постоянным модулем линейной скорости. Не следует путать путь и перемещение: после полного оборота перемещение равно нулю, а пройденный путь равен \(2\pi R\).
Из основной формулы можно найти любую из трёх величин:
Если тело равномерно движется по окружности радиуса \(R\) и совершает один оборот за время \(T\), то его линейная скорость равна \(v=\frac{2\pi R}{T}\). Формула применима, если \(R\) и \(T\) постоянны.
Угловая скорость и частота
За период радиус-вектор поворачивается на \(2\pi\) рад. Поэтому угловое перемещение за один оборот равно \(2\pi\), а угловая скорость определяется как отношение угла поворота к времени.
Частота обращения \(\nu\) показывает число оборотов за единицу времени. Период и частота — взаимно обратные величины.
Линейная скорость связана с угловой так: при малом повороте тело проходит дугу \(\Delta s=R\Delta\varphi\). Делим это равенство на время и получаем основную связь.
Для равномерного движения по окружности \(v=\omega R\). При одинаковой угловой скорости точки, расположенные дальше от оси вращения, имеют большую линейную скорость.
Два тела вращаются с одинаковой угловой скоростью: первое на радиусе \(R\), второе на радиусе \(2R\). Во сколько раз отличаются их линейные скорости?
Как решать задачи
В экзаменационных задачах сначала определите, какие величины известны: радиус, период, частота, линейная или угловая скорость. Затем выберите формулу и приведите все данные к единицам СИ. Если дано число оборотов \(N\) за время \(t\), сначала найдите частоту \(\nu=\frac{N}{t}\) или период \(T=\frac{t}{N}\).
- Запишите известные величины и переведите километры в метры, минуты в секунды.
- Если сказано «один оборот», используйте путь \(2\pi R\) и время \(T\).
- Для связи с угловой скоростью применяйте \(v=\omega R\) или \(\omega=\frac{2\pi}{T}\).
- Проверьте единицы ответа: \(v\) — м/с, \(\omega\) — рад/с, \(T\) — с.
Колесо радиуса \(0{,}25\) м вращается с частотой \(4\) Гц. Найдём угловую скорость и линейную скорость точки на ободе.
Ответ: \(\omega=8\pi\) рад/с, \(v=2\pi\) м/с. Проверка другим способом: за один оборот точка проходит \(2\pi R=0{,}5\pi\) м, а таких оборотов за секунду четыре, значит \(v=4\cdot0{,}5\pi=2\pi\) м/с.
Направление скорости и важные различия
Вектор линейной скорости в каждой точке направлен по касательной к окружности, то есть перпендикулярно радиусу. Поэтому даже при постоянном модуле скорости движение не является прямолинейным: направление вектора меняется. Это изменение описывается нормальным ускорением \(a_n=\frac{v^2}{R}=\omega^2R\), направленным к центру окружности.
Если скорость вращения не постоянна, появляется тангенциальное ускорение, изменяющее модуль линейной скорости. В данной теме движение считается равномерным, поэтому тангенциальное ускорение равно нулю.
1) Подставляют длину диаметра вместо радиуса: в формуле нужна именно \(R\). 2) Считают, что скорость направлена к центру: к центру направлено нормальное ускорение, а скорость — по касательной. 3) Путают период и частоту: \(T\) измеряется в секундах, а \(\nu\) — в герцах; они связаны формулой \(\nu=1/T\). 4) Используют \(2\pi\) без понимания: это угол полного оборота в радианах или длина окружности после умножения на \(R\).
Если радиус увеличить в два раза при неизменном периоде, линейная скорость должна увеличиться в два раза. Если период увеличить в два раза при неизменном радиусе, скорость должна уменьшиться в два раза.
Самопроверка
Проверь знание формул
Главное
- За один оборот тело проходит путь \(2\pi R\) за время \(T\), поэтому \(v=\frac{2\pi R}{T}\).
- Угловая скорость полного оборота: \(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu\).
- Связь линейной и угловой скоростей: \(v=\omega R\).
- Период и частота взаимно обратны: \(T=1/\nu\).
- Линейная скорость направлена по касательной, а нормальное ускорение — к центру окружности.