Четырехугольник
Четырехугольник — многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами. На этой странице разберем его элементы, виды углов, диагонали и правило нахождения суммы внутренних углов — основу для решения задач oge-18 и ege-7.
Что такое четырехугольник
Четырехугольник обозначают последовательно по вершинам: \(ABCD\). Это означает, что его стороны — отрезки \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\). Стороны, имеющие общую вершину, называют соседними, а стороны без общей вершины — противоположными.
Четырехугольник — это многоугольник, составленный из четырех отрезков, последовательно соединяющих четыре точки, причем никакие соседние стороны не лежат на одной прямой.
- Вершины: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
- Стороны: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).
- Противоположные стороны: \(AB\) и \(CD\), \(BC\) и \(AD\).
- Внутренние углы: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\).
- Периметр — сумма длин всех четырех сторон.
Если четырехугольник не пересекает сам себя и все его внутренние углы меньше \(180^\circ\), он выпуклый. Такой случай чаще всего используется в базовых задачах. Подробнее о нем — на странице выпуклом четырехугольнике. Если один внутренний угол больше \(180^\circ\), четырехугольник называют невыпуклым, или вогнутым; этот случай разобран на странице вогнутом многоугольнике.
Диагонали четырехугольника
Диагональ — отрезок, соединяющий две противоположные вершины многоугольника. В четырехугольнике две диагонали: \(AC\) и \(BD\). Они делят выпуклый четырехугольник на четыре треугольника, а каждая диагональ — на два треугольника.
Диагоналями четырехугольника называются отрезки \(AC\) и \(BD\), соединяющие противоположные вершины. Стороны диагоналями не являются.
Диагонали могут пересекаться внутри четырехугольника, на его границе или вне фигуры — это зависит от выпуклости и вида четырехугольника. Важно не переносить свойства специальных фигур на произвольный четырехугольник: например, диагонали общего четырехугольника не обязаны быть равными, перпендикулярными или делить друг друга пополам.
Сначала назовите вершины по порядку обхода фигуры. Затем соедините пары несоседних вершин: для \(ABCD\) это только \(A\) с \(C\) и \(B\) с \(D\). Если нужно вычислить длину диагонали, часто используют теорему Пифагора в одном из получившихся треугольников.
Сколько диагоналей у четырехугольника \(ABCD\)?
Сумма углов четырехугольника
Главное свойство внутренних углов любого простого четырехугольника: их сумма равна \(360^\circ\). Это верно и для выпуклого, и для вогнутого четырехугольника, если внутренний угол вогнутой вершины считать больше \(180^\circ\).
Сумма внутренних углов четырехугольника равна \(360^\circ\).
Доказательство удобно получить проведением диагонали \(AC\). Она делит четырехугольник \(ABCD\) на треугольники \(ABC\) и \(ACD\). Сумма углов каждого треугольника равна \(180^\circ\), поэтому общая сумма равна \(180^\circ+180^\circ=360^\circ\). Это частный случай правила для суммы углов многоугольника.
Как находить неизвестный угол
Если известны три внутренних угла, четвертый находят вычитанием их суммы из \(360^\circ\). Если в условии сказано, что углы равны, сначала заменяют их одной переменной, а затем используют основное равенство.
В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\) углы \(A\), \(B\) и \(C\) равны \(80^\circ\), \(110^\circ\) и \(95^\circ\). Найдите угол \(D\).
Показать решение Решение
Используем сумму углов четырехугольника: \(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ\).
Ответ: \(\angle D=75^\circ\). Проверка: \(80^\circ+110^\circ+95^\circ+75^\circ=360^\circ\).
В задачах могут встречаться дополнительные условия: равенство сторон, параллельность, биссектрисы, диагонали или прямые углы. Тогда сначала применяют специальные свойства фигуры, а затем проверяют результат общей формулой. Например, свойства параллелограмма изучаются на странице параллелограмме, а свойства трапеции — на странице трапеции.
1. Использовать \(180^\circ\) вместо \(360^\circ\): \(180^\circ\) — сумма углов треугольника. 2. Считать диагоналями соседние стороны. 3. Складывать внешние углы вместо внутренних. 4. Забывать, что в вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше \(180^\circ\). 5. Делать вывод, что диагонали произвольного четырехугольника равны или перпендикулярны без специального условия.
Практический алгоритм решения
- Определите, какие точки являются вершинами и в каком порядке они соединены.
- Запишите четыре внутренних угла и найдите среди них известные.
- Если требуется диагональ, соедините противоположные вершины: \(AC\) или \(BD\).
- Для углов используйте равенство \(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ\).
- При наличии специальных свойств примените их, а затем выполните проверку.
У четырехугольника 4 вершины, 4 стороны и 2 диагонали. Сумма его внутренних углов равна \(360^\circ\).
Быстрая проверка
Проверьте готовность
Главное
- Четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и четыре внутренних угла.
- Его диагонали соединяют противоположные вершины; у четырехугольника две диагонали.
- Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).
- Неизвестный угол находят как \(360^\circ\) минус сумму трех остальных.
- Свойства равенства, перпендикулярности или деления диагоналей пополам нельзя применять без дополнительных условий.