Подсчёт двумя способами
Подсчёт двумя способами — это приём, при котором одно и то же множество вариантов считают по двум независимым схемам, а затем сравнивают ответы. Если результаты совпали, решение, скорее всего, верно; если нет, значит, где-то пропущены варианты или некоторые посчитаны повторно.
Идея метода
Во многих задачах требуется узнать число возможных исходов, способов выбора или маршрутов. Сначала удобно составить таблицу вариантов или использовать дерево возможных вариантов. Но даже аккуратный подсчёт может содержать ошибку: например, один вариант учтён дважды, а другой не учтён вовсе.
Метод подсчёта двумя способами помогает выполнить независимую проверку. Один способ может опираться на выбор первого объекта, другой — на выбор последнего, на разбиение по группам или на подсчёт дополнения. Важно, чтобы способы не повторяли одну и ту же ошибочную последовательность рассуждений.
Подсчёт двумя способами — это нахождение мощности одного и того же множества вариантов двумя различными рассуждениями. Полученные выражения должны давать одинаковое число.
Если множество вариантов \(M\) посчитано двумя корректными способами, то результаты равны: \(|M|=N_1=N_2\). Равенство не доказывает автоматически правильность решения, но несовпадение точно указывает на ошибку хотя бы в одном из подсчётов.
Какие два способа выбирать
Наиболее полезны четыре пары подходов.
- Считать по первому шагу и по последнему шагу построения варианта.
- Разбить варианты на непересекающиеся группы и применить сложение, а затем посчитать через выбор позиций или объектов.
- Посчитать непосредственно подходящие варианты, а затем вычесть неподходящие из общего числа.
- Составить таблицу или дерево, а затем получить число формулой произведения.
Если действие состоит из нескольких последовательных этапов, число вариантов часто находится по методу перебора вариантов или правилу произведения. Если варианты объединяются в непересекающиеся случаи, используется правило суммы.
Формула (1) применяется, когда каждый вариант относится ровно к одной группе. Для последовательных независимых выборов используется произведение:
При проверке нужно убедиться, что оба способа считают именно один и тот же объект. Например, число кодов нельзя в одном способе считать для кодов с повторениями, а в другом — для кодов без повторений.
Запишите словами, что именно считается в каждом способе. Если оба рассуждения используют одинаковые группы и одинаковые переходы, проверка может лишь воспроизвести исходную ошибку. Хорошая пара: «по первой цифре» и «по последней цифре» или «все варианты минус запрещённые» и «непосредственно по случаям».
Разобранный пример: коды с ограничением
Из цифр \(0,1,2,3,4,5\) составляют четырёхзначные коды. Цифры могут повторяться, но первая цифра не должна быть равна нулю. Сколько существует таких кодов? Проверим ответ двумя способами.
Вариант — упорядоченная последовательность из четырёх цифр. Первый способ: выбрать цифры по позициям. Второй способ: посчитать все последовательности и исключить те, что начинаются с нуля.
Первый способ быстрее, когда ограничение удобно учесть сразу. Второй способ полезен как проверка и особенно удобен, если проще описать запрещённые варианты.
Из цифр \(1,2,3,4\) составляют трёхзначные числа с повторениями. Какой второй подсчёт проверит формулу \(4^3\)?
Подсчёт через разбиение и дополнение
Разбиение удобно, когда условие содержит несколько случаев: например, первый элемент чётный или нечётный, выбран ровно один предмет определённого типа, маршрут проходит через одну из станций. Группы должны быть одновременно полными и непересекающимися: каждый допустимый вариант попадает хотя бы в одну группу и не более чем в одну.
Метод дополнения состоит из трёх действий: найти общее число вариантов без ограничения, посчитать нарушающие условие варианты и вычесть их. Для событий в пространстве элементарных исходов похожая идея выражается через дополнение события: если событие \(A\) и его дополнение вместе образуют всё пространство, то число исходов для \(A\) равно разности общего числа исходов и числа исходов, не входящих в \(A\).
В логических задачах тот же приём встречается при подсчёте истинных наборов. Условие можно представить как логическое уравнение, а затем проверить решение через отрицание или через упрощение логических выражений. Если используются слова «и» и «или», важно различать пересечение и объединение событий: см. сумму и произведение событий.
1. Сравнивают числа, относящиеся к разным множествам: например, к кодам и к числам. 2. Складывают пересекающиеся группы, поэтому общие варианты считают дважды. 3. При вычитании дополнения забывают, что запрещённый случай может иметь собственные ограничения. 4. Не учитывают порядок: набор \(123\) и набор \(321\) — разные варианты, если речь идёт о кодах или последовательностях. 5. Запрещают повторения, хотя в условии они разрешены, или наоборот.
Связь с вероятностью и логикой
В задачах о случайном опыте подсчёт двумя способами часто нужен для нахождения числа элементарных исходов. Затем можно определить вероятность события как отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Поэтому важно не только получить число, но и проверить, что все исходы перечислены ровно по одному разу.
Здесь \(A\) — событие, а \(\Omega\) — случайное событие рассматриваемого опыта в полном наборе исходов. Для контроля полезно отдельно проверить крайние случаи: число вариантов не может быть отрицательным, а число подходящих вариантов не может превосходить общего числа.
Спросите себя: «Что является одним вариантом?», «Все ли варианты попали в подсчёт?», «Не попал ли один вариант в две группы?», «Одинаково ли учитывается порядок и повторения в обоих способах?»
Алгоритм решения
- Точно опишите один вариант и множество всех допустимых вариантов.
- Выберите первый способ подсчёта: по позициям, группам, дереву или формуле.
- Запишите полученное выражение и результат.
- Выберите независимый способ: через дополнение, другой порядок выбора или другую классификацию.
- Сравните результаты и проверьте границы: \(0\le N(\text{подходящие})\le N(\text{все})\).
- Только после проверки используйте число в дальнейших вычислениях вероятности или логической задачи.
Быстрая проверка
Главное
- Подсчёт двумя способами — независимая проверка числа вариантов.
- Для разбиения используйте сумму, для последовательных выборов — произведение.
- Метод дополнения: все варианты минус неподходящие.
- Группы должны быть полными и непересекающимися; порядок и повторения нужно учитывать одинаково.
- В задачах вероятности сначала проверьте число всех и благоприятных элементарных исходов, а затем применяйте формулу вероятности.