ЕГЭОГЭ
Задания № 3, 5 · ЕГЭ

Логическое уравнение

Как найти наборы значений, при которых логическое выражение истинно
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Логическое уравнение — это условие, записанное с помощью логических переменных и операций, в котором требуется найти все наборы значений переменных, делающие выражение истинным. Обычно значения переменных — \(0\) и \(1\), где \(0\) означает «ложь», а \(1\) — «истина».

Логическое уравнениеСлово «логический» связано с рассуждением и установлением истинности высказываний.
Логическое уравнение — равенство или условие вида \(F(x_1,x_2,\ldots,x_n)=1\), где \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) — логические переменные, принимающие значения \(0\) или \(1\). Решением называется набор значений переменных, при котором всё выражение истинно.

В выражениях используют операции НЕ, И, ИЛИ, импликацию и другие. Например, \(A\land B\) истинно только при \(A=1\) и \(B=1\), а \(A\lor B\) истинно, если хотя бы одна переменная равна \(1\). Для систематической проверки всех наборов удобно применять [[truth-table:таблицу истинности]], изучаемую в теме [[logic-tables-conspect:логики и таблиц]].

Как находят решения

  1. Определяют все переменные, входящие в выражение.
  2. Перечисляют возможные наборы значений. Для \(n\) переменных их \(2^n\).
  3. Вычисляют значение выражения для каждого набора.
  4. Оставляют только те наборы, для которых результат равен \(1\).
\[F(x_1,x_2,\ldots,x_n)=1\]
№
Пример

Рассмотрим уравнение \((A\land B)\lor C=1\). Набор \(A=1\), \(B=1\), \(C=0\) является решением, потому что \((1\land1)\lor0=1\). Набор \(A=0\), \(B=1\), \(C=0\) не подходит: \((0\land1)\lor0=0\). Всего для трёх переменных нужно проверить \(2^3=8\) наборов. Если выражение можно преобразовать без изменения его истинности, помогает [[logical-expression-simplification:упрощение логических выражений]].

!
Не путайте

Логическое уравнение не ищет числовое значение переменной вроде \(x=5\). Его решения — это наборы нулей и единиц, например \((A,B,C)=(1,0,1)\). Также важно не смешивать операцию И с обычным умножением чисел: в логике \(1\land1=1\), но смысл операции определяется истинностью высказываний.

Проверьте себя

Какие значения являются решением уравнения \(A\lor B=1\)?

Главное за минуту

Главное

  • Логическое уравнение требует найти наборы значений переменных \(0\) и \(1\), при которых выражение истинно.
  • Для \(n\) переменных существует \(2^n\) возможных наборов; их можно проверить по таблице истинности или перебором.
  • Решение записывают как набор значений переменных, а не как одно числовое значение.