Расчёт плотности сплава
Чтобы найти плотность сплава, нужно связать массу и объём его компонентов. В экзаменационных задачах обычно известны плотности металлов и их состав — массовые или объёмные доли; решение строится на законах сохранения массы и аддитивности объёма.
Основные понятия и модель расчёта
Сплав — однородный материал, состоящий из двух или нескольких металлов или металла и других компонентов. Плотность вещества показывает, какую массу имеет единица объёма. Для сплава плотность находят как отношение общей массы сплава к его общему объёму.
Плотность сплава — это отношение массы сплава к объёму сплава: \(\rho_{\text{спл}}=\frac{m_{\text{спл}}}{V_{\text{спл}}}\). Единицы измерения: г/см\(^3\), кг/м\(^3\) и другие.
В школьных задачах принимают, что масса сплава равна сумме масс компонентов, а объём — сумме их объёмов. Это означает, что используется аддитивность массы и аддитивность объёма: \(m=m_1+m_2\), \(V=V_1+V_2\).
Сначала определите, что именно задано в условии. Массовая доля показывает, какая часть общей массы приходится на компонент: \(w_i=\frac{m_i}{m}\). Если доля дана в процентах, её необходимо разделить на 100. Подробнее способ определения состава разобран на странице о массовой доле металла в сплаве.
Для двух компонентов обозначим массовые доли через \(w_1\) и \(w_2\). Если в сплаве только два металла, то \(w_1+w_2=1\). При заданных массовых долях удобно мысленно взять массу сплава 1 г или 100 г: результат плотности от этого выбора не изменится.
Формула для двух металлов
Пусть плотности металлов равны \(\rho_1\) и \(\rho_2\), а их массовые доли — \(w_1\) и \(w_2\). Возьмём массу сплава \(m\). Тогда массы компонентов равны \(m_1=w_1m\) и \(m_2=w_2m\). Их объёмы вычисляются по формуле плотности: \(V_1=\frac{m_1}{\rho_1}\) и \(V_2=\frac{m_2}{\rho_2}\).
Это формула плотности сплава по массовым долям. Она показывает, что плотность не равна простому среднему арифметическому плотностей. В знаменателе складываются удельные объёмы, то есть объёмы, приходящиеся на единицу массы.
Если состав дан в процентах \(p_1\) и \(p_2\), подставляйте не сами проценты, а доли: \(w_1=\frac{p_1}{100}\) и \(w_2=\frac{p_2}{100}\). Для трёх и более компонентов применяется аналогичная формула: складываются отношения массовых долей к плотностям всех компонентов; такой случай рассматривается на странице о плотности многокомпонентной смеси.
В сплаве 40% металла A и 60% металла B по массе. Какую величину нужно использовать в формуле вместо 40%?
Алгоритм шешімдер тапсырма
- Выпишите плотности всех металлов и приведите их к одной системе единиц.
- Определите вид состава: массовые доли, массы компонентов или объёмные доли.
- Если даны проценты по массе, переведите их в доли и проверьте, что их сумма равна 1, или 100%.
- Выберите удобную общую массу сплава, например 100 г, если состав задан в процентах.
- Найдите массы компонентов, затем их объёмы по формуле \(V_i=\frac{m_i}{\rho_i}\).
- Сложите массы и объёмы, после чего вычислите \(\rho=\frac{m}{V}\).
- Проверьте ответ: плотность сплава должна находиться между наименьшей и наибольшей плотностями компонентов.
Если известны только массовые доли, общую массу можно сразу сократить. Поэтому быстрее использовать формулу (1). Если в условии дополнительно спрашивают объём или массу компонента, выбирайте конкретную массу, например 100 г, и решайте через отдельные величины.
Разобранный пример
Сплав содержит 70% меди и 30% цинка по массе. Плотность меди равна \(8{,}9\ \text{г/см}^3\), плотность цинка — \(7{,}1\ \text{г/см}^3\). Найдите плотность сплава. Объёмы при смешении считать складывающимися.
Показать Шешім Шешім
Переводим проценты в массовые доли: \(w_{\text{Cu}}=0{,}70\), \(w_{\text{Zn}}=0{,}30\). Используем формулу для двух компонентов.
Жауабы: \(\rho_{\text{спл}}\approx8{,}27\ \text{г/см}^3\). Проверка: \(7{,}1<8{,}27<8{,}9\), поэтому результат физически правдоподобен.
Шешім через выбранную массу
Тот же пример можно решить без готовой формулы. Возьмём 100 г сплава. В нём содержится 70 г меди и 30 г цинка. Объёмы компонентов равны \(V_{\text{Cu}}=\frac{70}{8{,}9}\approx7{,}87\ \text{см}^3\) и \(V_{\text{Zn}}=\frac{30}{7{,}1}\approx4{,}23\ \text{см}^3\). Общий объём равен примерно \(12{,}10\ \text{см}^3\), поэтому \(\rho=\frac{100}{12{,}10}\approx8{,}27\ \text{г/см}^3\). Такой подход особенно удобен, если требуется найти объём или массу отдельного компонента.
| Что дано | Что использовать | Основная жазба |
|---|---|---|
| Массовые доли компонентов | Формулу по массовым долям | \(\rho=\frac{1}{\sum w_i/\rho_i}\) |
| Массы компонентов | Сумму масс и объёмов | \(\rho=\frac{m_1+m_2}{m_1/\rho_1+m_2/\rho_2}\) |
| Объёмные доли компонентов | Массу каждого компонента через объём | \(\rho=\sum \varphi_i\rho_i\) |
| Одна масса и один объём | Определение плотности | \(\rho=\frac{m}{V}\) |
Частые ошибки и проверка ответа
1. Подстановка процентов вместо долей: 70% нужно записать как 0,70. 2. Использование среднего арифметического \((\rho_1+\rho_2)/2\) при разных долях. 3. Сложение плотностей вместо сложения масс и объёмов. 4. Смешивание единиц: массу в граммах нужно сочетать с объёмом в кубических сантиметрах, а не с кубическими метрами. 5. Забытое условие \(w_1+w_2=1\). 6. Округление на каждом шаге: лучше округлять только конечный результат.
При положительных массовых долях плотность сплава находится между минимальной и максимальной плотностями компонентов: \(\min(\rho_i)\le\rho_{\text{спл}}\le\max(\rho_i)\). Если расчёт нарушает это правило, почти наверняка допущена ошибка в долях, единицах или формуле.
Когда нужна другая формула
Если состав задан объёмными долями, массовые доли использовать нельзя без пересчёта. При объёмной доле \(\varphi_i=\frac{V_i}{V}\) и аддитивности массы плотность смеси вычисляют как \(\rho=\sum\varphi_i\rho_i\); см. плотность смеси по объёмным долям. Если требуется сначала найти объём компонента, полезен материал о расчёте объёма компонента смеси. Для тапсырма, где неизвестна масса металла, используйте страницу о расчёте массы компонента смеси.
Быстрая проверка
Главное
- Плотность сплава находят как отношение общей массы к общему объёму.
- При массовых долях используют формулу \(\rho=\frac{1}{\sum w_i/\rho_i}\).
- Проценты сначала переводят в доли; сумма массовых долей равна 1.
- Общий объём получают сложением объёмов компонентов, а объём каждого компонента — делением его массы на плотность.
- Ответ обязательно проверяют по единицам и по границам: плотность сплава должна находиться между плотностями компонентов.