Задания № 26, 27, 28 · ЕГЭ

Плотность многокомпонентной смеси

Общий алгоритм расчёта плотности смеси из трёх и более компонентов

6 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Плотность многокомпонентной смеси находят как отношение общей массы смеси к её общему объёму. Для трёх и более компонентов сначала определяют массы или объёмы всех веществ, затем используют аддитивность массы и, если это предусмотрено условием, аддитивность объёма.

Основные понятия и допущения

Плотность вещества — физическая величина, равная отношению массы вещества к его объёму: \(\rho=\frac{m}{V}\). В задачах о смеси плотности компонентов обычно известны, а масса и объём смеси вычисляются по данным условия.

Плотность смеси

Плотность смеси \(\rho_{\text{см}}\) — это отношение общей массы всех компонентов к общему объёму смеси: \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_{\text{см}}}{V_{\text{см}}}\). Она не равна простому среднему арифметическому плотностей компонентов.

Правило для идеальной смеси

Если объёмы компонентов складываются без изменения объёма при смешении, то \(m_{\text{см}}=m_1+m_2+\dots+m_n\), \(V_{\text{см}}=V_1+V_2+\dots+V_n\), а плотность смеси вычисляют отношением этих сумм. В школьных задачах это допущение используют, если отдельно не сказано обратное.

\[\rho_{\text{см}}=\frac{m_1+m_2+\dots+m_n}{V_1+V_2+\dots+V_n}\]

Для каждого компонента справедлива связь \(m_i=\rho_iV_i\). Поэтому, если известны плотности и объёмы компонентов, можно сразу получить общую формулу:

\[\rho_{\text{см}}=\frac{\rho_1V_1+\rho_2V_2+\dots+\rho_nV_n}{V_1+V_2+\dots+V_n}\]1

Если известны массы компонентов, используют \(V_i=\frac{m_i}{\rho_i}\):

\[\rho_{\text{см}}=\frac{m_1+m_2+\dots+m_n}{\frac{m_1}{\rho_1}+\frac{m_2}{\rho_2}+\dots+\frac{m_n}{\rho_n}}\]2

Алгоритм решения задачи

Перед вычислениями определите, какие величины даны: массы, объёмы, массовые доли или объёмные доли. Удобно выбрать произвольную общую массу или объём, если в условии заданы только доли.

Запишите плотности всех компонентов в одной системе единиц. Например, \(1\ \text{г/см}^3=1000\ \text{кг/м}^3\).
Выберите расчётную величину: общую массу \(m_{\text{см}}\) или общий объём \(V_{\text{см}}\), если абсолютный размер смеси не задан.
Найдите массу или объём каждого компонента.
Сложите массы и объёмы, используя аддитивность массы и объёма.
Подставьте результаты в формулу \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_{\text{см}}}{V_{\text{см}}}\).
Проверьте единицы измерения и сравните ответ с плотностями компонентов.

Если заданы объёмы \(V_i\), применяйте формулу (1). Если заданы массы \(m_i\), применяйте формулу (2). Такой подход особенно удобен для сплавов и растворов, где часто известны массовые доли компонентов.

Расчёт по долям

Массовая доля компонента — отношение его массы к общей массе смеси: \(w_i=\frac{m_i}{m_{\text{см}}}\). Если заданы массовые доли, можно выбрать \(m_{\text{см}}=1\) или \(100\) г. Тогда \(m_i=w_im_{\text{см}}\), а общий объём равен сумме \(\frac{m_i}{\rho_i}\).

\[\rho_{\text{см}}=\frac{1}{\frac{w_1}{\rho_1}+\frac{w_2}{\rho_2}+\dots+\frac{w_n}{\rho_n}}\]3

В формуле (3) доли должны быть записаны десятичными дробями: \(25\%=0{,}25\). Если заданы объёмные доли \(\varphi_i=\frac{V_i}{V_{\text{см}}}\), можно выбрать общий объём \(V_{\text{см}}=1\) л или \(100\) см³. Тогда:

\[\rho_{\text{см}}=\rho_1\varphi_1+\rho_2\varphi_2+\dots+\rho_n\varphi_n\]4

Как выбрать способ

Массовые доли требуют суммирования объёмов \(m_i/\rho_i\), поэтому используется формула с обратными плотностями. Объёмные доли позволяют сразу получить средневзвешенную плотность по объёмам — формулу (4).

Микро-проверка

В смеси три компонента имеют объёмные доли \(0{,}2\), \(0{,}3\) и \(0{,}5\). Как должны быть связаны эти числа?

Разобранный пример

№

Пример уровня экзамена

Смешали три жидкости: \(V_1=200\) мл бензола плотностью \(0{,}80\) г/мл, \(V_2=300\) мл воды плотностью \(1{,}00\) г/мл и \(V_3=500\) мл глицерина плотностью \(1{,}26\) г/мл. Считая объёмы аддитивными, найдите плотность смеси.

Находим массы компонентов по формуле \(m_i=\rho_iV_i\).

\(\displaystyle m_1=0{,}80\cdot200=160\ \text{г};\quad m_2=1{,}00\cdot300=300\ \text{г};\quad m_3=1{,}26\cdot500=630\ \text{г}\)

Складываем массы компонентов согласно аддитивности массы.

\(\displaystyle m_{\text{см}}=160+300+630=1090\ \text{г}\)

Складываем объёмы, так как по условию объёмы аддитивны.

\(\displaystyle V_{\text{см}}=200+300+500=1000\ \text{мл}\)

Делим общую массу на общий объём.

\(\displaystyle \rho_{\text{см}}=\frac{1090}{1000}=1{,}09\ \text{г/мл}\)

Ответ: \(\rho_{\text{см}}=1{,}09\) г/мл, или \(1090\) кг/м³. Он находится между наименьшей плотностью бензола и наибольшей плотностью глицерина, что служит быстрой проверкой.

Тот же пример можно решить формулой (1): \(\rho_{\text{см}}=\frac{0{,}80\cdot200+1{,}00\cdot300+1{,}26\cdot500}{200+300+500}\). Для сплавов применяется такой же принцип; дополнительные примеры есть на странице трёхкомпонентный сплав.

Проверка ответа и типичные ошибки

Частые ошибки

1. Нельзя считать \(\rho_{\text{см}}=(\rho_1+\rho_2+\rho_3)/3\), если объёмы или массы компонентов различны. 2. Нельзя складывать плотности. Складываются массы и объёмы. 3. Проценты нужно переводить в доли: \(40\%=0{,}40\). 4. При массовых долях нельзя использовать формулу для объёмных долей. 5. Следите за единицами: граммы и миллилитры дают плотность в г/мл, а килограммы и м³ — в кг/м³.

Сумма массовых или объёмных долей равна 1, то есть 100%.
Все плотности и объёмы выражены в совместимых единицах.
Общий объём найден именно по условию об аддитивности.
Ответ находится между минимальной и максимальной плотностями компонентов, если объёмы складываются.

Если при смешении происходит заметное сжатие, расширение или химическая реакция, простой алгоритм может быть неприменим. В стандартных школьных расчётах это обычно явно оговаривается или подразумевается.

Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · основная формула

Какова формула плотности смеси при известных массах компонентов?

Главное за минуту

Главное

Плотность смеси равна общей массе, делённой на общий объём.
При известных объёмах используйте \(\rho_{\text{см}}=\frac{\sum\rho_iV_i}{\sum V_i}\); при известных массах — \(\rho_{\text{см}}=\frac{\sum m_i}{\sum m_i/\rho_i}\).
По массовым долям удобна формула \(\rho_{\text{см}}=\frac{1}{\sum w_i/\rho_i}\), по объёмным долям — \(\rho_{\text{см}}=\sum\rho_i\varphi_i\).
Всегда проверяйте единицы, сумму долей и попадание ответа в диапазон плотностей компонентов.
Если объёмы при смешении не складываются, нужны дополнительные данные; стандартные формулы тогда могут не работать.