Решение: Равновесие цилиндра между плоскостями
Гладкий цилиндр лежит между двумя плоскостями, одна из которых вертикальна, а линия их пересечения горизонтальна (см. рисунок). Сила давления цилиндра на вертикальную стенку в $n = \sqrt{3}$ раза превышает силу тяжести, действующую на цилиндр. Найдите угол $\alpha$ между плоскостями. Сделайте рисунок, на котором укажите силы, действующие на цилиндр.
Решение по шагам
5 шаговНа цилиндр действуют сила тяжести $mg$, горизонтальная реакция вертикальной стенки $N_1$ и реакция наклонной плоскости $N_2$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
$$N_1 \text{ — горизонтально вправо},\quad mg \text{ — вертикально вниз},\quad N_2 \text{ — перпендикулярно наклонной плоскости}$$Так как цилиндр находится в равновесии, сумма сил по вертикали равна нулю. Вертикальная составляющая реакции наклонной плоскости уравновешивает силу тяжести.
$$N_2\sin\alpha = mg$$По горизонтали сила давления цилиндра на вертикальную стенку по модулю равна реакции стенки $N_1$. Горизонтальная составляющая реакции наклонной плоскости уравновешивает эту силу.
$$N_1 = N_2\cos\alpha$$Делим второе уравнение на первое и используем условие задачи $N_1 = nmg$, где $n = \sqrt{3}$.
$$\frac{N_1}{mg}=\frac{N_2\cos\alpha}{N_2\sin\alpha}=\cot\alpha=\sqrt{3}$$Из равенства $\cot\alpha = \sqrt{3}$ получаем значение угла.
$$\alpha = 30^\circ$$$\alpha = 30^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Направляют реакцию гладкой наклонной плоскости вдоль плоскости, а не перпендикулярно ей.
Путают угол между плоскостями с углом между вертикалью и нормалью к наклонной плоскости.
Используют отношение $\tan\alpha$ вместо $\cot\alpha$.
Не указывают на рисунке силу тяжести и обе силы реакции опор.