Решение: Движение брусков с пружиной
Небольшой брусок массой $m = 100\ \text{г}$, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, абсолютно неупруго сталкивается с неподвижным телом массой $M = 2m$. При дальнейшем поступательном движении тела налетают на недеформированную пружину, одним концом прикреплённую к стене. Через какое время $t$ после абсолютно неупругого удара бруски вернутся в точку столкновения? Скорость движения бруска до столкновения $v = 2\ \text{м/с}$, жёсткость пружины $k = 30\ \text{Н/м}$, а расстояние от точки столкновения до пружины $L = 10\ \text{см}$.
Решение по шагам
6 шаговПри абсолютно неупругом столкновении бруски движутся дальше как одно тело массой $m + M$. По закону сохранения импульса найдём их общую скорость сразу после удара.
$$mv = (m+M)u$$Так как $M = 2m$, общая масса равна $3m$, поэтому скорость после удара составляет
$$u = \frac{mv}{m+M} = \frac{v}{3} = \frac{2}{3}\ \text{м/с}$$До пружины бруски проходят расстояние $L$, а после возвращения пружины в недеформированное состояние снова проходят расстояние $L$ до точки столкновения. Суммарное время движения на этих участках:
$$t_1 = \frac{2L}{u} = \frac{2\cdot 0{,}10}{2/3} = 0{,}30\ \text{с}$$После соприкосновения с пружиной бруски совершают гармонические колебания. От недеформированного положения до максимального сжатия и обратно до недеформированного положения проходит половина периода:
$$t_2 = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{m+M}{k}}$$Подставим значения: $m = 0{,}10\ \text{кг}$, $M = 0{,}20\ \text{кг}$.
$$t_2 = \pi\sqrt{\frac{0{,}30}{30}} = 0{,}1\pi\ \text{с} \approx 0{,}314\ \text{с}$$Полное время от момента столкновения до возвращения в точку столкновения равно сумме времён.
$$t = t_1 + t_2 = 0{,}30 + 0{,}1\pi \approx 0{,}614\ \text{с}$$t = 0{,}30 + 0{,}1\pi\ \text{с} \approx 0{,}61\ \text{с}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют скорость исходного бруска $v$, а не скорость системы после неупругого столкновения.
Считают, что при взаимодействии с пружиной проходит полный период, хотя от первого касания до возвращения в недеформированное положение проходит половина периода.
Не учитывают движение брусков от точки столкновения до пружины и обратно.