Решение: Шайба на вращающемся конусе
Полый конус с углом при вершине $2\alpha$ вращается вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен $\mu$. При какой максимальной угловой скорости вращения конуса шайба будет неподвижна относительно конуса, находясь на расстоянии $L$ от вершины? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
Решение по шагам
6 шаговРасстояние от шайбы до оси вращения равно радиусу горизонтальной окружности:
$$r=L\sin\alpha$$На шайбу действуют сила тяжести $m\vec g$, сила нормальной реакции $\vec N$ и сила трения покоя $\vec F_{\text{тр}}$. Выберем направление вдоль образующей конуса вниз от вершины и направление нормали к поверхности.
Проекция второго закона Ньютона на направление вдоль образующей учитывает составляющую силы тяжести и составляющую горизонтального центростремительного ускорения:
$$F_{\text{тр}}=m\left(g\cos\alpha+\omega^2r\sin\alpha\right)$$Из проекции второго закона Ньютона на нормаль к поверхности находим реакцию опоры:
$$N=m\left(g\sin\alpha-\omega^2r\cos\alpha\right)$$При максимальной угловой скорости трение покоя достигает предельного значения $F_{\text{тр}}=\mu N$.
$$g\cos\alpha+\omega^2r\sin\alpha=\mu\left(g\sin\alpha-\omega^2r\cos\alpha\right)$$Подставляя $r=L\sin\alpha$ и выражая угловую скорость, получаем:
$$\omega_{\max}^2=\frac{g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{L\sin\alpha(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}$$\displaystyle \omega_{\max}=\sqrt{\frac{g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{L\sin\alpha(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}}$, при условии $\mu\sin\alpha\geq\cos\alpha$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют расстояние $L$ как радиус вращения вместо $r=L\sin\alpha$.
Забывают, что при увеличении угловой скорости возрастает составляющая силы, стремящаяся сдвинуть шайбу вниз по образующей.
Приравнивают силу трения к $\mu mg$ вместо $\mu N$.
Не указывают условие существования покоя шайбы: $\mu\sin\alpha\geq\cos\alpha$.