Решение: Движение груза с пружиной
К одному концу лёгкой пружины жёсткостью $k = 100\ \text{Н/м}$ прикреплён массивный груз, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно. Коэффициент трения груза по плоскости $\mu = 0{,}2$. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно $d = 15\ \text{см}$. Найдите массу $m$ груза.
Обоснуйте ход решения и запишите ответ с указанием единицы измерения.
Решение по шагам
6 шаговПусть начальная координата груза равна $d$, а координата конечной остановки — $x<0$. При движении груза сила трения совершает работу $-\mu m g(d-x)$.
$$d-x$$По закону сохранения энергии с учётом работы силы трения:
$$\frac{k d^2}{2} - \frac{k x^2}{2} = \mu m g(d-x)$$Разложив разность квадратов и сократив на $d-x$, получаем координату конечной остановки:
$$\frac{k(d+x)}{2}=\mu m g,\qquad x=\frac{2\mu m g}{k}-d$$При максимальном начальном растяжении груз останавливается в сжатом положении на границе начала обратного движения. Поэтому сила упругости в конечной точке равна максимальной силе трения:
$$k|x|=\mu m g$$Так как $x<0$, имеем $-x=\dfrac{\mu m g}{k}$. Подставляя это в выражение для $x$, получаем:
$$d=\frac{3\mu m g}{k}$$Выразим массу и подставим $d=0{,}15\ \text{м}$ и $g\approx10\ \text{м/с}^2$:
$$m=\frac{kd}{3\mu g}=\frac{100\cdot0{,}15}{3\cdot0{,}2\cdot10}=2{,}5\ \text{кг}$$2,5 кг
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать работу силы трения при движении груза.
Использовать условие равенства силы упругости и силы трения в начальном, а не в конечном положении.
Забыть, что конечное положение соответствует сжатию пружины, поэтому координата $x$ отрицательна.