Решение: Шайба на вращающемся конусе
Полый конус с углом при вершине $2\alpha$ вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба. При каком минимальном коэффициенте трения шайба будет неподвижна относительно конуса на расстоянии $L$ от вершины конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
Решение по шагам
6 шаговРассмотрим движение в системе отсчёта, связанной с конусом. В этой системе шайба покоится. На неё действуют сила тяжести $m\vec g$, центробежная сила $\vec F_{\mathrm{ц}}$ величины $m\omega^2r$, нормальная реакция поверхности $\vec N$ и сила трения $\vec F_{\mathrm{тр}}$.
$$F_{\mathrm{ц}}=m\omega^2r$$Так как шайба находится на расстоянии $L$ от вершины по образующей конуса, расстояние до оси вращения равно
$$r=L\sin\alpha$$Выберем направление вдоль образующей от вершины вниз. Проекции силы тяжести и центробежной силы на это направление складываются:
$$F_{\mathrm{тр}}=mg\cos\alpha+m\omega^2r\sin\alpha$$После подстановки $r=L\sin\alpha$ сила трения, необходимая для равновесия шайбы, равна
$$F_{\mathrm{тр}}=m\left(g\cos\alpha+\omega^2L\sin^2\alpha\right)$$Проекции результирующей силы тяжести и центробежной силы на направление, перпендикулярное поверхности, определяют нормальную реакцию:
$$N=m\left|\omega^2r\cos\alpha-g\sin\alpha\right|=m\left|\omega^2L\sin\alpha\cos\alpha-g\sin\alpha\right|$$В предельном случае покоя сила трения равна максимальной силе трения $\mu N$. Поэтому минимальный коэффициент трения равен отношению требуемой силы трения к нормальной реакции.
$$\mu_{\min}=\frac{g\cos\alpha+\omega^2L\sin^2\alpha}{\left|g\sin\alpha-\omega^2L\sin\alpha\cos\alpha\right|}$$$\displaystyle \mu_{\min}=\frac{g\cos\alpha+\omega^2L\sin^2\alpha}{\left|g\sin\alpha-\omega^2L\sin\alpha\cos\alpha\right|}$. Сила трения направлена вдоль образующей к вершине конуса.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Принимать расстояние $L$ от вершины за расстояние до оси вращения вместо $r=L\sin\alpha$.
Забывать центробежную силу при рассмотрении системы отсчёта, связанной с конусом.
Складывать силы трения и нормальной реакции без предварительного разложения сил по направлениям.
Не учитывать модуль при вычислении нормальной реакции.