Решение: Отрыв груза от сферы
Система из грузов $m$ и $M$ и связывающей их лёгкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз $m$ находится в точке $A$ на вершине сферы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз $m$ отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу $30^\circ$. Найдите массу $M$, если $m = 100\ \text{г}$. Размеры груза $m$ ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы.
Схема расположения грузов и сферы. Саму картинку ещё готовим — у остальных задач темы она на месте.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим через $\alpha$ угол, на который груз $m$ переместился от вершины сферы. В момент отрыва реакция сферы равна нулю.
$$N=0$$Спроецируем второй закон Ньютона для груза $m$ на радиальное направление к центру сферы. Сила натяжения нити направлена по касательной и в радиальной проекции отсутствует.
$$mg\cos\alpha=m\frac{v^2}{R}$$Следовательно, скорость груза в момент отрыва равна:
$$v^2=gR\cos\alpha$$Груз $m$ опускается на высоту $R(1-\cos\alpha)$, а груз $M$ опускается на расстояние $R\alpha$. По закону сохранения энергии:
$$mgR(1-\cos\alpha)+MgR\alpha=\frac{(m+M)v^2}{2}$$Подставим условие отрыва и сократим на $gR$:
$$m(1-\cos\alpha)+M\alpha=\frac{m+M}{2}\cos\alpha$$При $\alpha=30^\circ=\dfrac{\pi}{6}$ получаем:
$$M\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=m\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}-1\right)$$Отсюда:
$$M=m\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}-1}{\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}}\approx3.29m$$При $m=100\ \text{г}$ масса второго груза равна:
$$M\approx3.29\cdot100\ \text{г}\approx329\ \text{г}$$Масса груза $M\approx329\ \text{г}$, или примерно $0{,}33\ \text{кг}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что в момент отрыва реакция сферы равна нулю.
Считать, что сила натяжения имеет радиальную составляющую.
Использовать угол $30^\circ$ в градусах непосредственно в формуле для длины дуги вместо $\alpha=\pi/6$.
Не учитывать изменение потенциальной энергии груза $M$.