Решение: Равновесие стержня на пружинах
К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной $L = 30\ \text{см}$. Если к этому стержню подвесить груз массой $m = 3\ \text{кг}$ на расстоянии $d = 5\ \text{см}$ от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы. Жёсткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня $M$? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил.
Решение по шагам
7 шаговТак как растяжения пружин одинаковы, а жёсткость правой пружины в 2 раза больше, сила упругости правой пружины в 2 раза больше силы упругости левой пружины. Обозначим силу упругости левой пружины через $F$, тогда сила упругости правой пружины равна $2F$.
$$F_\text{л}=F,\quad F_\text{п}=2F$$Запишем условие равновесия стержня и груза по вертикали.
$$F+2F-Mg-mg=0$$Подставляя $m=3\ \text{кг}$, получаем связь между $F$ и массой стержня.
$$3F=(M+3)g$$Рассмотрим моменты сил относительно точки крепления левой пружины. Вес стержня приложен к его середине, а груз находится на расстоянии $L-d$ от левой пружины.
$$2F L=Mg\frac{L}{2}+mg(L-d)$$Подставим $L=30\ \text{см}$, $d=5\ \text{см}$ и $m=3\ \text{кг}$. Из первого уравнения $F=\frac{(M+3)g}{3}$.
$$2\cdot\frac{(M+3)g}{3}\cdot30=Mg\cdot15+3g\cdot25$$После сокращения на $g$ решаем полученное уравнение.
$$20(M+3)=15M+75,\quad 5M=15,\quad M=3\ \text{кг}$$На рисунке необходимо показать стержень, направленные вверх силы упругости $F$ и $2F$ в точках крепления пружин, вес стержня $Mg$ в его середине и силу тяжести груза $mg$ на расстоянии $d$ от правой пружины.
Масса стержня равна $3\ \text{кг}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать силы упругости пружин одинаковыми, несмотря на различие их жёсткостей.
Принять плечо силы тяжести груза равным $d$, хотя относительно левой пружины оно равно $L-d$.
Приложить вес однородного стержня не к его середине.