Решение: Радиус мёртвой петли
Небольшой кубик массой $m = 1\ \text{кг}$ начинает соскальзывать с высоты $H = 3\ \text{м}$ по гладкой горке, переходящей в мёртвую петлю (см. рисунок). Определите радиус петли $R$, если на высоте $h = 2{,}5\ \text{м}$ от нижней точки петли кубик давит на её стенку с силой $F = 4\ \text{Н}$. Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.
Решение по шагам
6 шаговТак как поверхность гладкая, механическая энергия кубика сохраняется. При движении от высоты $H$ до высоты $h$ потенциальная энергия уменьшается, превращаясь в кинетическую.
$$m g H = m g h + \frac{m v^2}{2}$$Найдём квадрат скорости кубика на высоте $h$.
$$v^2 = 2g(H-h) = 2 \cdot 10 \cdot (3-2{,}5) = 10\ \text{м}^2/\text{с}^2$$В рассматриваемой точке на кубик действуют сила реакции стенки $F$, направленная к центру петли, и радиальная составляющая силы тяжести $m g\dfrac{R-h}{R}$ в том же направлении. Их равнодействующая создаёт центростремительное ускорение.
$$F + m g\frac{R-h}{R} = \frac{m v^2}{R}$$Подставим известные значения и решим уравнение относительно радиуса петли.
$$4 + 10\frac{R-2{,}5}{R} = \frac{10}{R}$$Умножая уравнение на $R$ и упрощая, получаем:
$$4R + 10R - 25 = 10;\quad 14R = 35;\quad R = 2{,}5\ \text{м}$$На рисунке сил необходимо показать силу тяжести $m\vec g$, направленную вертикально вниз, и силу давления кубика на стенку, равную по модулю силе реакции стенки $F$ и направленную от кубика к стенке.
R = 2{,}5\ \text{м}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать радиальную составляющую силы тяжести.
Использовать в уравнении движения по окружности всю силу тяжести вместо её радиальной составляющей.
Путать силу давления кубика на стенку с силой реакции стенки: по третьему закону Ньютона их модули равны.
Не использовать закон сохранения энергии для определения скорости кубика.