Решение: Столкновение брошенных шариков
Пластилиновый шарик в момент $t = 0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $\vec{v}_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Сколько времени проходит от столкновения шариков до их падения на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение по шагам
6 шаговДо столкновения первый шарик движется как тело, брошенное под углом к горизонту. Его вертикальная скорость в момент столкновения равна $v_0\sin\alpha - gt_{\text{ст}}$. Второй шарик падает из состояния покоя, поэтому его вертикальная скорость равна $-gt_{\text{ст}}$.
$$v_{1y}=v_0\sin\alpha-gt_{\text{ст}},\qquad v_{2y}=-gt_{\text{ст}}$$При абсолютно неупругом столкновении шарики слипаются. По закону сохранения импульса вертикальная составляющая их общей скорости после столкновения равна среднему арифметическому вертикальных скоростей. По условию она равна нулю.
$$\frac{m(v_0\sin\alpha-gt_{\text{ст}})+m(-gt_{\text{ст}})}{2m}=0$$Отсюда находим момент столкновения.
$$t_{\text{ст}}=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}$$Высота первого шарика над Землёй в момент столкновения определяется его движением по вертикали.
$$h=v_0\sin\alpha\,t_{\text{ст}}-\frac{gt_{\text{ст}}^2}{2}=\frac{3v_0^2\sin^2\alpha}{8g}$$После столкновения скорость шариков направлена горизонтально, поэтому начальная вертикальная скорость равна нулю. Время $\tau$ падения с высоты $h$ на Землю определяется формулой свободного падения.
$$h=\frac{g\tau^2}{2}$$Подставляя найденную высоту, получаем время от столкновения до падения.
$$\tau=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{3v_0^2\sin^2\alpha}{4g^2}}=\frac{\sqrt{3}\,v_0\sin\alpha}{2g}$$Время от столкновения до падения шариков на Землю равно $\displaystyle \tau=\frac{\sqrt{3}\,v_0\sin\alpha}{2g}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что после абсолютно неупругого столкновения масса системы равна $2m$.
Использовать только вертикальную скорость первого шарика при определении момента столкновения.
Считать, что после столкновения шарики продолжают двигаться с начальной вертикальной скоростью.
Использовать высоту падения второго шарика вместо высоты точки столкновения.