Решение: Шайба на вращающемся конусе
Полый конус с углом при вершине $2\alpha$ вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен $\mu$. При каком максимальном расстоянии $L$ от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
Решение по шагам
9 шаговРассмотрим шайбу в системе отсчёта, вращающейся вместе с конусом. В этой системе шайба покоится. На неё действуют сила тяжести $m\vec g$, нормальная реакция поверхности $\vec N$, сила трения $\vec F_{\mathrm{тр}}$ и центробежная сила инерции $\vec F_{\mathrm{ц}}$.
$$F_{\mathrm{ц}}=m\omega^2r$$Расстояние от шайбы до вертикальной оси вращения равно $r=L\sin\alpha$, поэтому центробежная сила имеет величину $F_{\mathrm{ц}}=m\omega^2L\sin\alpha$.
Разложим силы по направлениям, касательному к поверхности конуса и перпендикулярному к ней. Проекция суммы силы тяжести и центробежной силы на образующую равна $m(\omega^2L\sin^2\alpha-g\cos\alpha)$.
$$F_{\parallel}=m\left(\omega^2L\sin^2\alpha-g\cos\alpha\right)$$Перпендикулярная к поверхности составляющая определяет нормальную реакцию опоры:
$$N=m\sin\alpha\left(g+\omega^2L\cos\alpha\right)$$Для отсутствия скольжения необходимое значение силы трения не должно превышать максимальное значение $\mu N$:
$$\left|\omega^2L\sin^2\alpha-g\cos\alpha\right|\leq\mu m\sin\alpha\left(g+\omega^2L\cos\alpha\right)$$Максимальное расстояние соответствует случаю, когда центробежная составляющая стремится сдвинуть шайбу вверх по образующей, а сила трения направлена вниз. Поэтому:
$$\omega^2L\sin^2\alpha-g\cos\alpha=\mu\sin\alpha\left(g+\omega^2L\cos\alpha\right)$$Решая это уравнение относительно $L$, получаем максимальное расстояние при условии $\sin\alpha-\mu\cos\alpha>0$.
$$L_{\max}=\frac{g\left(\cos\alpha+\mu\sin\alpha\right)}{\omega^2\sin\alpha\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)}$$Если $\mu\geq\tan\alpha$, то при больших $L$ центробежная сила также может быть уравновешена силой трения, поэтому конечного верхнего значения расстояния в идеализированной модели нет.
На схеме следует показать силу тяжести вертикально вниз, центробежную силу горизонтально от оси вращения, нормальную реакцию перпендикулярно поверхности конуса и силу трения вдоль поверхности. В предельном положении сила трения направлена вниз по образующей.
При $\mu<\tan\alpha$: $L_{\max}=\dfrac{g\left(\cos\alpha+\mu\sin\alpha\right)}{\omega^2\sin\alpha\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)}$. При $\mu\geq\tan\alpha$ конечного максимального расстояния нет.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют расстояние $L$ как расстояние до оси вращения вместо $r=L\sin\alpha$.
Забывают центробежную силу в системе отсчёта, вращающейся вместе с конусом.
Неверно определяют направление силы трения в предельном положении.
Приравнивают силу трения к $\mu mg$ вместо $\mu N$.
Не учитывают условие существования конечного значения $L_{\max}$: $\mu<\tan\alpha$.