Ответ: Шайба на вращающемся конусе
\displaystyle \omega_{\max}=\sqrt{\frac{g(\mu\sin\alpha-\cos\alpha)}{L\sin\alpha(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}}$, при условии $\mu\sin\alpha\geq\cos\alpha$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Полый конус с углом при вершине $2\alpha$ вращается вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба, коэффициент трения которой о поверхность конуса равен $\mu$. При какой максимальной угловой скорости вращения конуса шайба будет неподвижна относительно конуса, находясь на расстоянии $L$ от вершины? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.
Где здесь ошибаются
Используют расстояние $L$ как радиус вращения вместо $r=L\sin\alpha$.
Забывают, что при увеличении угловой скорости возрастает составляющая силы, стремящаяся сдвинуть шайбу вниз по образующей.
Приравнивают силу трения к $\mu mg$ вместо $\mu N$.
Не указывают условие существования покоя шайбы: $\mu\sin\alpha\geq\cos\alpha$.