Решение: Уравнение с параметром и модулем
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2+a^2+x-7a=|7x+a|$ имеет больше двух различных корней.
Решение по шагам
7 шаговРазобьём уравнение по знаку выражения под модулем.
$$7x+a\geqslant 0\quad\text{или}\quad 7x+a<0$$При $7x+a\geqslant 0$ получаем уравнение $x^2-6x+a^2-8a=0$ с условием $x\geqslant -\dfrac{a}{7}$. Его дискриминант равен $D_1=4\bigl(25-(a-4)^2\bigr)$, поэтому действительные корни существуют при $-1\leqslant a\leqslant 9$.
Корни первого уравнения: $x=3\pm\sqrt{25-(a-4)^2}$. Подстановка граничного значения $x=-\dfrac{a}{7}$ в левую часть этого уравнения даёт $\dfrac{2a(25a-193)}{49}$. С учётом условия на корни два допустимых корня получаются при $-1<a\leqslant 0$ или $\dfrac{193}{25}\leqslant a<9$.
При $7x+a<0$ получаем уравнение $x^2+8x+a^2-6a=0$ с условием $x< -\dfrac{a}{7}$. Его дискриминант равен $D_2=4\bigl(25-(a-3)^2\bigr)$, поэтому действительные корни существуют при $-2\leqslant a\leqslant 8$.
Подстановка $x=-\dfrac{a}{7}$ во второе квадратное уравнение даёт $\dfrac{2a(25a-143)}{49}$. С учётом строгого условия $x< -\dfrac{a}{7}$ единственный допустимый корень имеется при $a=0$, $0<a\leqslant\dfrac{143}{25}$, а также при $a=-2$ и $a=8$.
Чтобы получить больше двух различных корней, нужны два корня из первого случая и хотя бы один корень из второго. Пересечение соответствующих множеств параметров равно $\{0,8\}$.
Проверка: при $a=0$ получаем корни $x=-8,0,6$; при $a=8$ получаем корни $x=-4,0,6$. Во всех случаях корни различны.
$a\in\{0;8\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x\geqslant -\dfrac{a}{7}$ и $x< -\dfrac{a}{7}$ после раскрытия модуля.
Считать корень на границе $7x+a=0$ допустимым во второй ветви, хотя там условие строгое.
Не проверять случаи нулевого дискриминанта и совпадения корней.
Считать количество корней каждого квадратного уравнения без проверки их принадлежности соответствующей области.