Решение: Два корня дробно-рационального уравнения
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\dfrac{4x^2-a^2}{x^2+6x+9-a^2}=0$ имеет ровно два различных корня.
Решение по шагам
8 шаговДробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$$\frac{4x^2-a^2}{x^2+6x+9-a^2}=0$$Решим уравнение числителя.
$$4x^2-a^2=(2x-a)(2x+a)=0$$Получаем два значения переменной: $x_1=\dfrac{a}{2}$ и $x_2=-\dfrac{a}{2}$. Они различны при $a\ne0$.
Знаменатель не должен обращаться в ноль. Проверим первый корень.
$$\left(\frac{a}{2}\right)^2+6\cdot\frac{a}{2}+9-a^2=0\iff -\frac{3a^2}{4}+3a+9=0$$Решение полученного уравнения: $a=6$ или $a=-2$. При этих значениях корень $x_1=\dfrac{a}{2}$ запрещён.
Проверим второй корень.
$$\left(-\frac{a}{2}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{a}{2}\right)+9-a^2=0\iff -\frac{3a^2}{4}-3a+9=0$$Решение полученного уравнения: $a=2$ или $a=-6$. При этих значениях корень $x_2=-\dfrac{a}{2}$ запрещён.
Следовательно, два различных допустимых корня существуют при всех значениях параметра, кроме $a=0$, $a=\pm2$ и $a=\pm6$.
Ответ: $a\in\mathbb{R}\setminus\{-6,-2,0,2,6\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать условие ненулевого знаменателя.
Забыть исключить $a=0$, при котором корни числителя совпадают.
Исключить только значения, при которых знаменатель равен нулю тождественно, вместо проверки знаменателя в найденных корнях.