Решение: Система с параметром и окружностью
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
(x+ay-5)(x+ay-5a)=0,\\
x^2+y^2=16
\end{cases}
$$
имеет ровно четыре различных решения.
Решение по шагам
8 шаговПервое уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений прямых:
$$x+ay=5 \quad\text{или}\quad x+ay=5a$$Второе уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $4$. При $a\ne1$ прямые различны и параллельны. Чтобы система имела ровно четыре различных решения, каждая из двух прямых должна пересекать окружность в двух точках.
Для прямой $x+ay=5$ расстояние до начала координат должно быть меньше радиуса окружности:
$$\frac{5}{\sqrt{1+a^2}}<4$$После возведения в квадрат получаем:
$$25<16(1+a^2)\quad\Longleftrightarrow\quad a^2>\frac{9}{16}\quad\Longleftrightarrow\quad |a|>\frac34$$Для прямой $x+ay=5a$ аналогично:
$$\frac{5|a|}{\sqrt{1+a^2}}<4$$После возведения в квадрат:
$$25a^2<16(1+a^2)\quad\Longleftrightarrow\quad 9a^2<16\quad\Longleftrightarrow\quad |a|<\frac43$$Объединяя условия, получаем $\frac34<|a|<\frac43$. Значение $a=1$ необходимо исключить, так как при нём две прямые совпадают и система имеет не более двух различных решений.
При $a=\pm\frac34$ или $a=\pm\frac43$ одна из прямых касается окружности, поэтому решений будет не четыре, а меньше.
a\in\left(-\frac43,-\frac34\right)\cup\left(\frac34,1\right)\cup\left(1,\frac43\right)
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают концы промежутков, хотя в этих случаях прямая касается окружности.
Не исключают значение $a=1$, при котором две прямые совпадают.
Проверяют только одну из двух прямых.
Считают касание двумя различными точками.