Шешімі: Уравнение с параметром и модулями
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\left(\lvert x-a^2\rvert+\lvert x+1\rvert\right)^2-7\left(\lvert x-a^2\rvert+\lvert x+1\rvert\right)+4a^2+4=0$ имеет ровно два различных корня.
Шешім по шагам
9 қадамОбозначим $b=a^2$ и $t=\lvert x-b\rvert+\lvert x+1\rvert$. Так как точки $b$ и $-1$ различны, минимальное значение выражения $t$ равно $b+1$, а каждое значение $t>b+1$ соответствует ровно двум значениям $x$. При $t=b+1$ получается только одно значение $x$.
$$t\ge b+1$$Исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно $t$:
$$t^2-7t+4b+4=0$$Проверим значение левой части этого уравнения в точке $t=b+1$:
$$(b+1)^2-7(b+1)+4b+4=b^2-b-2=(b-2)(b+1)$$Дискриминант квадратного уравнения относительно $t$ равен:
$$\Delta=49-16(b+1)=33-16b$$Если $0\le b<2$, то значение многочлена в точке $b+1$ отрицательно. Следовательно, точка $b+1$ находится между двумя корнями по $t$. Ровно один из них больше $b+1$ и даёт ровно два значения $x$.
$$0\le b<2$$При $b=2$ один из корней по $t$ равен минимальному значению $b+1$, а второй больше него. Это даёт $1+2=3$ различных значения $x$, поэтому $b=2$ не подходит.
$$t^2-7t+12=0,\quad t=3,4$$При $b>2$ и $b<\dfrac{33}{16}$ оба корня по $t$ больше $b+1$, поэтому получается четыре значения $x$. При $b=\dfrac{33}{16}$ дискриминант равен нулю, имеется один двойной корень по $t$:
$$\Delta=0,\quad t=\frac{7}{2}>b+1=\frac{49}{16}$$Этот единственный уровень $t$ больше минимального, поэтому ему соответствуют ровно два значения $x$. При $b>\dfrac{33}{16}$ действительных значений $t$ нет.
Возвращаясь к параметру $a$, получаем $a^2<2$ или $a^2=\dfrac{33}{16}$.
$a\in(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup\left\{-\dfrac{\sqrt{33}}{4},\dfrac{\sqrt{33}}{4}\right\}$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что значение $t=b+1$ соответствует только одному значению $x$, а не двум.
Считать случай $a^2=2$ подходящим, хотя он даёт три различных корня.
Забыть проверить случай нулевого дискриминанта.
Рассматривать $t$ как произвольное действительное число и не учитывать условие $t\ge a^2+1$.