Площадь четырёхугольника ABCD
Точки $P$, $Q$, $W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4$. Радиус окружности, описанной около треугольника $PQW$, равен $10$, $PQ=16$, $QW=12$, угол $PWQ$ — острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ — прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника в отношении , радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, , угол острый. а) Докажите, что треугольник прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Диаметр описанной окружности треугольника равен $20$. Сравните его с длинами сторон треугольника.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
По теореме Пифагора $16^2+12^2=20^2$. Следовательно, сторона $PW$ является диаметром описанной окружности, а угол $PQW$ прямой.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Площадь треугольника $PQW$ равна $\frac12\cdot16\cdot12=96$. Используйте координаты или векторное разложение с учётом отношений $1:4$, чтобы получить $S_{ABCD}=\frac{25}{4}S_{PQW}$.