Окружность в треугольнике
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC = 4\sqrt{3}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике точки , и середины сторон , и соответственно, высота, , . а) Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности. б) Найдите , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается шешімнің барысын жазу, жол емес. Шешімді қағазға жазып, салыстырыңыз с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Талдауды ашу1Мягкая — с чего смотретьдеңгей 1 из 3
Какими свойствами обладают отрезки, соединяющие середины сторон треугольника? Как связаны углы при доказательстве цикличности?
2Жетекші — қандай сандарды есептеудеңгей 2 из 3
Используйте теорему о средней линии и рассмотрите углы $\angle A_1HB_1$ и $\angle A_1C_1B_1$. Для вычисления примените теорему синусов.
3Тікелей — іс жүзінде шешімдеңгей 3 из 3
Введя координаты $C=(0,0)$, $B=(4\sqrt{3},0)$ и учитывая $\angle BCA=45^\circ$, получите $A=(6+2\sqrt{3},6+2\sqrt{3})$, $H=(6+2\sqrt{3},0)$, $A_1=(2\sqrt{3},0)$. Поэтому $A_1H=6$.