Окружность в треугольнике

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 18 · Планиметрия

ВысокаяФИПИ9595A4Развёрнутое решение≈ 15 минут

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности. Найдите $A_1H$, если $BC = 4\sqrt{3}$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В треугольнике $A B C$ точки $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ $—$ середины сторон $B C$ , $A C$ и $A B$ соответственно, $A H$ $—$ высота, $∠ B A C = 30 °$ , $∠ B C A = 45 °$ .

а) Докажите, что точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_{1} H$ , если $B C = 4 \sqrt{3}$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Какими свойствами обладают отрезки, соединяющие середины сторон треугольника? Как связаны углы при доказательстве цикличности?

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Используйте теорему о средней линии и рассмотрите углы $\angle A_1HB_1$ и $\angle A_1C_1B_1$. Для вычисления примените теорему синусов.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Введя координаты $C=(0,0)$, $B=(4\sqrt{3},0)$ и учитывая $\angle BCA=45^\circ$, получите $A=(6+2\sqrt{3},6+2\sqrt{3})$, $H=(6+2\sqrt{3},0)$, $A_1=(2\sqrt{3},0)$. Поэтому $A_1H=6$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяТреугольник и вписанная окружностьСледующаяКасательная окружность треугольника

Задание 18 ЕГЭ, математика, профиль