Система с параметром на окружности
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система
$$
\begin{cases}
2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a,\\
x^2+y^2=1
\end{cases}
$$
имеет единственное решение.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Найдите все значения при каждом из которых система имеет единственное решение. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Учтите симметрию системы относительно оси $Oy$: если $x\ne 0$ является частью решения, то и $-x$ также является частью решения.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Положите $t=|x|$, где $0\le t\le 1$, и выразите $a$ через $t$ отдельно для верхней и нижней полуокружностей: $y=\pm\sqrt{1-t^2}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Единственное решение возможно только при $x=0$. Проверьте точки $(0,1)$ и $(0,-1)$, а затем докажите, что при $t>0$ значения $a=9$ и $a=25$ не достигаются.