Треугольник и описанная окружность
В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $CC_1$ и биссектрисы $BB_1$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно. Известно, что $\angle ABC=40^\circ$ и $\angle ACB=85^\circ$. Докажите, что $BM=CN$. Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна $6$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике продолжения высоты и биссектрисы пересекают описанную окружность в точках и соответственно, а) Докажите, что б) Прямые и пересекаются в точке Найдите площадь треугольника если его высота равна 6. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите координаты, приняв $BC=1$ и расположив $BC$ на горизонтальной оси. Найдите координаты точек $M$ и $N$ через тригонометрические функции углов.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Уравнение описанной окружности можно записать в виде $x^2+y^2-x-\tan 35^\circ y=0$. Точка $M$ лежит на луче, образующем с $BC$ угол $20^\circ$, а точка $N$ — на прямой через $C$, перпендикулярной $AB$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
После нахождения координат получается $BM=CN$. Для точки пересечения $D=MN\cap BC$ вычислите отношение $BD$ к высоте из $B$ к прямой $DN$; оно равно $2$. Поэтому $S_{BDN}=\frac12\,BD\cdot BH=BH^2$.