Числа с кратными суммами
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^2$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число и его квадрат Найдите наименьшее возможное значение | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается шешімнің барысын жазу, жол емес. Шешімді қағазға жазып, салыстырыңыз с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Талдауды ашу1Мягкая — с чего смотретьдеңгей 1 из 3
Что можно получить, если сравнить суммы двух троек, имеющих два общих числа?
2Жетекші — қандай сандарды есептеудеңгей 2 из 3
Из условия следует, что любые два записанных числа сравнимы по модулю 3 и по модулю 5, а значит, и по модулю 15.
3Тікелей — іс жүзінде шешімдеңгей 3 из 3
Проверьте остатки чисел 305 и 1511 по модулю 15. Для пункта в) используйте условие $n^2 \equiv n \pmod{15}$.