Числа с кратными суммами
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число $n$ и его квадрат $n^2$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх или пяти чисел а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 305 и 1511? б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 305? в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число и его квадрат Найдите наименьшее возможное значение | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Что можно получить, если сравнить суммы двух троек, имеющих два общих числа?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из условия следует, что любые два записанных числа сравнимы по модулю 3 и по модулю 5, а значит, и по модулю 15.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Проверьте остатки чисел 305 и 1511 по модулю 15. Для пункта в) используйте условие $n^2 \equiv n \pmod{15}$.