Тригонометрическое уравнение с отбором корней
а) Решите уравнение $4\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{17\pi}{2};\,10\pi\right]$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Раскройте косинус суммы и упростите выражение $\cos(\pi-x)$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте формулы $\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}}$ и $\cos(\pi-x)=-\cos x$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
После сокращения уравнение принимает вид $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Общие корни: $x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$. На заданном отрезке остаются $\frac{37\pi}{4}$ и $\frac{39\pi}{4}$.