Шешімі: Параметр в системе уравнений
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$$
\begin{cases}
y=(a+2)x^2+2ax+a-2,\\
y^2=x^2
\end{cases}
$$
имеет ровно четыре различных решения.
Шешімін қадамдап көрсету
10 қадамИз уравнения $y^2=x^2$ следует, что $y=x$ или $y=-x$.
При $y=x$ получаем квадратное уравнение относительно $x$:
$$(a+2)x^2+(2a-1)x+a-2=0$$Его дискриминант равен:
$$D_1=(2a-1)^2-4(a+2)(a-2)=17-4a$$Чтобы это уравнение имело два различных вещественных корня, необходимо $D_1>0$, то есть:
$$a<\dfrac{17}{4}$$При $y=-x$ получаем второе квадратное уравнение:
$$(a+2)x^2+(2a+1)x+a-2=0$$Его дискриминант равен:
$$D_2=(2a+1)^2-4(a+2)(a-2)=4a+17$$Для двух различных вещественных корней необходимо $D_2>0$, откуда:
$$a>-\dfrac{17}{4}$$При $a=-2$ коэффициент при $x^2$ обращается в ноль, поэтому оба уравнения становятся линейными и не дают по два корня. Значение $a=-2$ нужно исключить.
Решения, полученные в случаях $y=x$ и $y=-x$, могут совпасть только при $x=0$, поскольку прямые $y=x$ и $y=-x$ пересекаются в начале координат. Подстановка $x=0$ в первое уравнение даёт $a-2=0$, то есть $a=2$.
При $a=2$ точка $(0,0)$ является общей для двух случаев, поэтому получается не четыре, а три различных решения. Значение $a=2$ также исключается.
a\in\left(-\dfrac{17}{4},-2\right)\cup(-2,2)\cup\left(2,\dfrac{17}{4}\right)
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать случай $y=-x$.
Проверять только положительность дискриминантов и не исследовать вырожденный случай $a=-2$.
Не исключить $a=2$, при котором два шешімдер совпадают в точке $(0,0)$.
Считать решениями только значения $x$, не учитывая соответствующие значения $y$.