Математика, профиль · ЕГЭ

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $98^\circ$, угол $CAD$ равен $44^\circ$. Найдите угол $ABD$.

Даны векторы $\vec{a}=(2;\,0)$ и $\vec{b}=(1;\,4)$. Найдите длину вектора $\vec{a}+3\vec{b}$.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объём конуса.

В среднем из 3000 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,4. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Найдите корень уравнения $2^{x-3}=\dfrac{1}{16}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_{9} 28}{\log_{9} 7}+\log_{7}\dfrac{7}{4}$.

Найдите наибольшее значение функции $y = 10\sin x - \dfrac{36x}{\pi} + 7$ на отрезке $\left[-\dfrac{5\pi}{6}; 0\right]$.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 3$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1{,}4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$ в атмосферах. Работа $A$ в джоулях, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = \alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}$, где $\alpha = 10{,}9\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — постоянная, $T = 300\ \text{К}$ — температура воздуха. Найдите давление $p_2$, если при сжатии воздуха была совершена работа $29\,430$ Дж.

Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?

а) Решите уравнение $27^x - 4 \cdot 3^{x+2} + 3^{5-x} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_7 4;\ \log_7 16]$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$, $AD=6$, $AA_1=10$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=3:2$ и $B_1F:FB=3:7$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.

а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

Решите неравенство.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK=90^\circ$, $\angle NKL=\angle KLM=120^\circ$.

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.
б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA=1$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $a^2-ax-2x^2-6a+3x+9|x|=0$ имеет четыре различных корня.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.