Логика и булева алгебра — 225 задач

На числовой прямой даны два отрезка: $B = [115; 140]$ и $C = [121; 163]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, что формула $\left(\neg(x \in B)\right) \to \left(\left((x \in C) \land \neg(x \in A)\right) \to (x \in B)\right)$ истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x>A) \lor (y>A) \lor (x+2y<110)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_7, y_1, y_2, \ldots, y_7$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям? $(\neg x_1 \lor y_1) \to (\neg x_2 \land y_2) = 1$ $(\neg x_2 \lor y_2) \to (\neg x_3 \land y_3) = 1$ $\ldots$…

Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \vee \neg y) \wedge \neg(y \equiv z) \wedge \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$. Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из…

Миша заполнял таблицу истинности функции $ (\neg x \lor \neg y) \land \neg(y \equiv z) \land \neg w $, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_9, y_1, y_2, \ldots, y_9$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям? $(x_1 \to (x_2 \land y_2)) \land (y_1 \to y_2) = 1$ $(x_2 \to (x_3 \land y_3)) \land (y_2 \to y_3) = 1$ $\ldots$…

Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = \neg(x \to w) \lor (y \equiv z) \lor y$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(y + 2x < A) \lor (x > 25) \lor (y > 25)$ тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x + 2y < A) \lor (y > x) \lor (x > 60)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$»; и пусть на числовой прямой дан отрезок $B = [50; 60]$. Для какого наибольшего натурального числа $A$ формула $\mathrm{ДЕЛ}(x,A) \lor ((x \in B) \to \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,13))$ тождественно истинна при…

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x + 2y < A) \lor (y > x) \lor (x > 30)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$»; пусть на числовой прямой дан отрезок $B=[50;70]$. Для какого наибольшего натурального числа $A$ логическое выражение $\mathrm{ДЕЛ}(x,A) \lor ((x \in B) \to \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,15))$ истинно при любом…

Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = ((w \to y) \to (x \equiv y)) \lor \neg z$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$. Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из…

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x \cdot y < A) \lor (x < y) \lor (8 \leq x)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Миша заполнял таблицу истинности функции $ (\neg x \lor \neg y) \land \neg(x \equiv z) \land w $, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$.

Миша заполнял таблицу истинности функции $((\neg x \mathbin{\lor} \neg y) \mathbin{\land} \neg(x \equiv z) \mathbin{\land} w)$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных $w$, $x$, $y$, $z$. Определите соответствие между столбцами…

Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_9, y_1, y_2, \ldots, y_9$, удовлетворяющих всем условиям системы: для каждого $i$ от $1$ до $8$ выполняется $(x_i \lor y_i) \to (x_{i+1} \land y_{i+1}) = 1$?

Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_8$, которые удовлетворяют всем приведённым ниже условиям? $$(x_i \land y_j \to x_i \land y_{j+1}) \land (x_i \land y_j \to x_{i+1} \land y_j)=1$$ для всех натуральных $i$ и $j$, таких, что $i<6$ и $j<8$…

Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_5, y_1, y_2, \ldots, y_6$, которые удовлетворяют всем приведённым ниже условиям? $((x_i \land y_j \to x_i \land y_{j+1}) \land (x_i \land y_j \to x_{i+1} \land y_j)) = 1$ для всех натуральных $i$ и $j$, таких, что $i < 5$ и…

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(y + 2x < A) \lor (x > 15) \lor (y > 30)$ истинно (то есть принимает значение 1) при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?