Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру. На табличке записана пара неотрицательных целых чисел — позиция. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок должен заменить одно из…
- 1
В задании 1 из позиции $(9,S)$ Петя может получить $(9,9+S)$ с суммой $18+S$ или $(9+S,S)$ с суммой $9+2S$. Чтобы Петя не мог выиграть одним ходом, обе суммы должны быть меньше 26.$$18+S<26,\quad 9+2S<26$$
- 2
Получаем $S<8$ и $S<8{,}5$. Максимальное неотрицательное целое значение — $S=7$.
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо…
- 1
За один ход из позиции $S$ можно получить $S+1$ или $2S$. Петя выигрывает первым ходом, если один из результатов не меньше 26.
- 2
Условие $S+1 \geq 26$ даёт $S=25$, а условие $2S \geq 26$ даёт $S \geq 13$. Поэтому все значения: $13,14,\ldots,25$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч по своему…
- 1
1а. Из начальной позиции $(5,S)$ Петя может выиграть одним ходом, если удвоение второй кучи даёт сумму не менее 75: $5+2S\geq75$. Отсюда $S\geq35$. Удвоение первой кучи требует $10+S\geq75$, то есть $S\geq65$, что уже входит в найденный…$$35\leq S\leq69$$
- 2
1б. Петя может сделать невыигрышный ход, удвоив первую кучу: $(5,S)\to(10,S)$. Ваня затем удваивает вторую кучу. Для победы Вани нужно $10+2S\geq75$, поэтому $S\geq32{,}5$. Минимальное целое значение — $S=33$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень…
- 1
Из начальной позиции $(7,S)$ Петя может выиграть первым ходом, если удвоение второй кучи даёт сумму не менее 77: $7+2S\geq77$, то есть $S\geq35$. Удвоение первой кучи даёт условие $14+S\geq77$, то есть $S\geq63$, которое уже входит в…
- 2
Для задания 1б достаточно взять минимальное $S$, при котором после неудачного хода Пети Ваня выигрывает сразу. При $S=18$ Петя может удвоить вторую кучу и получить позицию $(7,36)$. Ваня удваивает вторую кучу и получает $(7,72)$, сумма…
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. Первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в одной куче в два…
- 1
Для анализа каждой позиции перечисляют все возможные ходы: увеличение одной из куч на 1 и удвоение одной из куч. Если после хода сумма становится не менее 59, игра заканчивается победой сделавшего ход.
- 2
Для позиции (4, 27) выигрышная стратегия принадлежит Ване. После любого первого хода Пети Ваня выбирает ход, переводящий игру в позицию, из которой Петя не может гарантированно выиграть, а затем отвечает симметричным или компенсирующим…
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Дан набор слов, составленных из букв русского алфавита, при этом ни одно из заданных слов не является началом другого. Игроки по очереди приписывают…
- 1
В задании 1а слова начинаются с разных букв: А и Д. Петя выбирает букву А. После этого все ходы однозначны, и будет написано слово АБВГДАБВГДХ длины 11. Последний, 11-й ход делает Петя, поэтому Петя выигрывает. При этой стратегии возможна…
- 2
В задании 1б Петя выбирает букву Т. Далее продолжение однозначно: ТРИ повторяется 33 раза, длина слова равна 99. Последнюю букву пишет Петя, поэтому выигрышная стратегия есть у Пети.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в одной куче в три раза. Игра заканчивается…
- 1
Позиция (4, 20) выигрышна для Пети: первым ходом он утраивает вторую кучу и получает сумму 4 + 60 = 64? Нет, при правильном подсчёте после утроения второй кучи получается позиция (4, 60), сумма 64; поэтому этот ход не является немедленной…
- 2
При обратном анализе проигрышными для игрока, которому предстоит ход, являются позиции (4, 21), (7, 20), (5, 20). Поэтому в позициях (4, 21) и (7, 20) выигрышная стратегия принадлежит Ване.
Ещё 3 қадам — толық шешімде