Ответ: Стратегии в игре с камнями
1а: $S=13,14,\ldots,25$; 1б: $S=12$; 2: $S=6$ и $S=10$; 3: подходящего значения $S$ не существует, поэтому построение требуемого дерева невозможно.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень либо увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 26. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 26 или больше камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 \leq S \leq 25$.
Игрок имеет выигрышную стратегию, если может выиграть при любых ходах противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы, не являющиеся безусловно выигрышными.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обоснуйте ответ.
Задание 1а. Укажите все значения $S$, при которых Петя может выиграть за один ход.
Задание 1б. Укажите значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2. Укажите два значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от хода Вани. Для каждого значения опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3. Укажите значение $S$, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, позволяющей гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения опишите стратегию Вани и постройте дерево всех партий, возможных при этой стратегии.
Где здесь ошибаются
Считать, что из позиции 24 Ваня должен добавить один камень; на самом деле он удваивает количество камней и сразу получает 48.
Забывать, что игра заканчивается сразу после получения 26 или большего количества камней.
В задании 2 рассматривать только один ход Вани вместо проверки обоих возможных ходов.
Пытаться подобрать значение для задания 3, не проверив, что при $S=6$ Петя уже имеет собственную стратегию выигрыша за второй ход.