Каменная игра с двумя кучами
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч по своему выбору один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, из позиции $(10, 7)$ можно получить позиции $(11, 7)$, $(20, 7)$, $(10, 8)$ и $(10, 14)$. Игра завершается, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 75. Победителем считается игрок, сделавший последний ход.
В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй — $S$ камней, где $1 \leq S \leq 69$. Игрок имеет выигрышную стратегию, если может выиграть при любых ходах противника. В описание стратегии не следует включать ходы, не являющиеся безусловно выигрышными.
Выполните задания 1–3:
1а) Укажите все значения $S$, при которых Петя может выиграть за один ход.
1б) Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение $S$, при котором это возможно.
2) Укажите значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть своим вторым ходом независимо от хода Вани. Опишите стратегию Пети.
3) Укажите значение $S$, при котором Ваня может выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но не может гарантированно выиграть первым ходом. Опишите стратегию Вани и постройте дерево всех партий, возможных при этой стратегии.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 75. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Выполните следующие задания Задание 1 а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть за один ход. б) Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна. Задание 2 Укажите такое значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: - Петя не может выиграть за один ход; - Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3 Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия: - у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; - у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). В узлах дерева указывайте позиции, на рёбрах рекомендуется указывать ходы. Дерево не должно содержать партии, невозможные при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не является верным ответом на это задание. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассматривайте отдельно сумму камней и результат удвоения каждой из куч. Для немедленной победы после хода сумма должна стать не меньше 75.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из позиции $(a,b)$ возможны позиции $(a+1,b)$, $(2a,b)$, $(a,b+1)$ и $(a,2b)$. Для выигрыша следующим ходом ищите позиции, из которых любой ход соперника приводит к возможности немедленной победы.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Ответы: в задании 1а $35 \leq S \leq 69$; в задании 1б минимально $S=33$; в задании 2 подходит $S=32$ и первый ход Пети — удвоение первой кучи; в задании 3 подходит $S=31$.