Ответ: Игра с двумя кучами камней
1а) $S=35,36,\ldots,69$; 1б) $S=18$. 2) $S=31$: Петя первым ходом удваивает первую кучу, получая $(14,31)$, после чего выигрывает вторым ходом при любом ходе Вани. 3) $S=30$: Ваня после ходов Пети $(8,30)$, $(14,30)$ и $(7,31)$ удваивает первую кучу, а после $(7,60)$ сразу удваивает вторую. Это гарантирует победу Вани первым или вторым ходом.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче — $S$ камней, где $1 \leq S \leq 69$.
Выполните задания 1–3: определите значения $S$, при которых Петя или Ваня имеют выигрышную стратегию, опишите соответствующие стратегии и для задания 3 постройте дерево всех партий, возможных при реализации выигрышной стратегии Вани.
Где здесь ошибаются
Указывать только один возможный ход противника вместо всех ходов, предусмотренных выигрышной стратегией.
Считать выигрышным ход, после которого сумма равна 76.
Включать в дерево полное дерево игры, включая ходы, которые не соответствуют выбранной стратегии Вани.
Забывать, что игрок, первым получивший сумму не менее 77, сразу выигрывает и дальнейшие ходы из этой позиции не рассматриваются.