Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{2x+5}{2x^2+5x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
6 шаговРазложим знаменатель на множители:
$$2x^2+5x=x(2x+5)$$Сократим дробь, учитывая ограничения на область определения:
$$y=\frac{2x+5}{x(2x+5)}=\frac{1}{x},\quad x\ne 0,\quad x\ne -\frac{5}{2}$$График функции — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой, соответствующей $x=-\dfrac{5}{2}$:
$$y=\frac{1}{-\frac{5}{2}}=-\frac{2}{5}$$Точка $\left(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{2}{5}\right)$ не принадлежит графику. Найдём точки пересечения с прямой $y=kx$:
$$\frac{1}{x}=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=1$$При $k>0$ уравнение имеет два корня $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$. Чтобы одна из точек пересечения была выколотой, необходимо:
$$-\frac{1}{\sqrt{k}}=-\frac{5}{2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{k}=\frac{2}{5}\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{4}{25}$$При $k=\dfrac{4}{25}$ один корень равен $x=-\dfrac{5}{2}$ и исключён из области определения, а второй корень равен $x=\dfrac{5}{2}$ и задаёт единственную общую точку. При других значениях $k$ пересечений либо нет, либо их два.
График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{2}{5}\right)$. Ровно одна общая точка с прямой $y=kx$ получается при $k=\dfrac{4}{25}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne -\dfrac{5}{2}$ после сокращения дроби.
Изобразить полный график $y=\dfrac{1}{x}$ без выколотой точки.
Считать, что при любом $k>0$ прямая имеет ровно одну общую точку.
Не проверить случай, когда один из корней уравнения пересечения совпадает с запрещённым значением $x=-\dfrac{5}{2}$.