Радиус окружности, касающейся луча
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $16$ и $39$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{39}}{8}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введём координаты: $A=(0,0)$, $AC$ направим вдоль оси $Ox$, тогда $M=(16,0)$ и $N=(39,0)$. Как записать уравнение окружности, проходящей через эти точки?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Уравнение окружности имеет вид $x^2+y^2-55x+Dy+624=0$. Её центр и радиус выразите через параметр $D$, а условие касания примените через расстояние от центра до прямой $AB$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
После подстановки $\cos \angle BAC=\dfrac{\sqrt{39}}8$ и $\sin \angle BAC=\dfrac58$ получите квадратное уравнение для $D$. Из двух корней выберите тот, при котором точка касания лежит на луче $AB$.