Шешімі: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y = 3|x+7| - x^2 - 13x - 42$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Шешім по шагам
7 қадамРаскроем модуль по определению. При $x<-7$ имеем $|x+7|=-(x+7)$, поэтому
$$y=-3(x+7)-x^2-13x-42=-x^2-16x-63=-(x+8)^2+1$$При $x\geqslant -7$ имеем $|x+7|=x+7$, поэтому
$$y=3(x+7)-x^2-13x-42=-x^2-10x-21=-(x+5)^2+4$$Левая ветвь $y=-(x+8)^2+1$ задана при $x<-7$. Её вершина имеет координаты $(-8;1)$, а при приближении к $x=-7$ значение функции стремится к $0$. Поэтому горизонтальная прямая пересекает левую ветвь в одной точке при $m\leqslant 0$ и при $m=1$, а в двух точках при $0<m<1$.
Правая ветвь $y=-(x+5)^2+4$ задана при $x\geqslant -7$. Её вершина имеет координаты $(-5;4)$, а точка соединения ветвей имеет координаты $(-7;0)$. Прямая $y=0$ пересекает правую ветвь в двух точках, а при $0<m<4$ — также в двух точках.
При $m=0$ левая ветвь даёт одну точку пересечения, а правая — две точки. Всего получаем три общие точки.
При $m=1$ левая ветвь даёт одну точку пересечения в вершине, а правая ветвь — две точки. Всего также получаем три общие точки.
Для остальных значений $m$ число пересечений отличается от трёх.
$m\in\{0;1\}$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате раскрывают модуль при $x<-7$.
Не учитывают ограничения $x<-7$ и $x\geqslant -7$ для двух ветвей.
Считают точку $x=-7$ принадлежащей обеим ветвям.
Не проверяют отдельно значения $m=0$ и $m=1$, являющиеся уровнями вершин и точки соединения.