Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 25$ и $CD = 16$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим через $2x$ и $2y$ центральные углы, опирающиеся соответственно на хорды $AB$ и $CD$.
По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами, угол $AKB$ равен половине суммы дуг $AB$ и $CD$. Поэтому $2x + 2y = 120^\circ$, то есть $x + y = 60^\circ$.
Выразим длины хорд через радиус окружности:
$$25 = 2R\sin x,\qquad 16 = 2R\sin y$$Так как $y = 60^\circ - x$, получаем:
$$25\sin(60^\circ-x)=16\sin x$$Раскрывая синус разности, найдём тангенс угла $x$:
$$25\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x\right)=16\sin x;\quad 25\sqrt3\cos x=57\sin x;\quad \tan x=\frac{25\sqrt3}{57}$$Из найденного значения тангенса:
$$\sin x=\frac{25\sqrt3}{2\sqrt{1281}}$$Подставим это значение в формулу для хорды $AB$:
$$25=2R\cdot\frac{25\sqrt3}{2\sqrt{1281}},\qquad R=\frac{\sqrt{1281}}{\sqrt3}=\sqrt{427}$$$\sqrt{427}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность дуг вместо их суммы при применении теоремы о пересекающихся хордах.
Забывают, что длина хорды равна $2R\sin\frac{\alpha}{2}$.
Полагают, что $x+y=120^\circ$, хотя центральные углы равны $2x$ и $2y$.