Общие касательные окружностей
Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m:n$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m:n$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружности с центрами в точках и не имеют общих точек, и ни одна | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как связаны радиус окружности и расстояние от её центра до касательной?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Пусть внутренняя общая касательная пересекает $IJ$ в точке $K$. Рассмотрите прямоугольные треугольники, образованные отрезками $IK$, $JK$ и перпендикулярами из центров к касательной.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Треугольники с общей вершиной $K$ подобны, поэтому отношение радиусов равно отношению $IK$ и $KJ$. Так как диаметры пропорциональны радиусам, получаем требуемое отношение.