Задания № 18, 19 · ЕГЭ

Погрешность измерения

Виды погрешностей, их оценка и правильная запись результата измерения

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Любое физическое измерение даёт не абсолютно точное число, а приближённое значение с некоторой погрешностью. В этой теме разберём, откуда берутся погрешности, как их оценивать и как записывать результат измерения.

Что называют погрешностью

Измерение — это сравнение физической величины с единицей измерения с помощью прибора или метода. Основы выбора способа измерения рассмотрены на странице методы измерений. Полученное значение \(x_{\text{изм}}\) обычно отличается от истинного значения \(x_{\text{ист}}\), которое в идеальном случае можно было бы получить при безошибочном измерении.

Погрешность измерения

Погрешность — это отклонение результата измерения от истинного или принятого за истинное значения измеряемой величины. Истинное значение практически неизвестно, поэтому погрешность обычно оценивают по свойствам прибора, условиям опыта и серии измерений.

Разность между измеренным и истинным значением называют абсолютной погрешностью. Если результат получен непосредственно прибором, говорят о прямом измерении; при вычислении величины по другим измеренным величинам — о косвенном измерении.

\[\Delta x = |x_{\text{изм}}-x_{\text{ист}}|\]

На практике истинное значение заменяют табличным, эталонным или средним значением серии измерений. Подробное понятие абсолютной погрешности важно отличать от относительной.

\(x\)

измеряемая величина

единица величины

\(\Delta x\)

абсолютная погрешность

та же единица, что у x

\(\varepsilon\)

относительная погрешность

1 или %

\(x_{\text{ср}}\)

среднее значение

та же единица, что у x

Виды погрешностей

По характеру возникновения выделяют систематические, случайные и грубые погрешности.

Систематическая погрешность

Систематическая погрешность сохраняется или закономерно изменяется от измерения к измерению. Она возникает, например, из-за неверной нулевой отметки, неисправности прибора, постоянного влияния внешнего фактора или несовершенства метода.

Если весы показывают на \(20\ \text{г}\) больше настоящей массы, все результаты будут завышены примерно на одну и ту же величину. Повторение измерения такую погрешность не устраняет: нужно проверить ноль, откорректировать показания или применить другой метод.

Случайная погрешность

Случайная погрешность меняется непредсказуемо по знаку и величине от опыта к опыту. Её вызывают небольшие колебания условий, ограниченная чувствительность прибора и случайные изменения отсчёта.

Случайную погрешность уменьшают повторением измерений и вычислением среднего значения. Однако усреднение не исправляет систематическую ошибку.

Грубая погрешность

Грубая погрешность появляется из-за промаха: неверного отсчёта, записи числа, выбора единицы или нарушения методики. Такой результат резко отличается от остальных и требует проверки, а не механического усреднения.

Понятие погрешности связано с точностью измерения: чем меньше погрешность по сравнению с измеряемой величиной, тем выше точность. В современной записи также используют термин неопределённость измерения — оценку диапазона, в котором ожидается истинное значение.

Микро-проверка

Какое действие не устраняет систематическую погрешность прибора?

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность показывает, на сколько единиц измерения результат может отличаться от истинного. Она имеет ту же единицу, что и измеряемая величина: метры, секунды, килограммы и так далее.

\[\Delta x \approx \text{оценка абсолютной погрешности}\]

Для шкального прибора абсолютную погрешность часто принимают равной цене деления или половине цены деления — в зависимости от типа шкалы и принятого правила. Поэтому сначала нужно определить цену деления шкалы, ознакомиться с шкалой прибора и его паспортной точностью. Нельзя автоматически использовать одно правило для всех приборов.

Относительная погрешность

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю измеренного значения. Она показывает, какую долю результата составляет ошибка.

\[\varepsilon = \frac{\Delta x}{|x|}\]

\[\varepsilon_{\%}=\frac{\Delta x}{|x|}\cdot100\%\]

Относительная погрешность не имеет единицы измерения. Например, погрешность \(0{,}2\ \text{м}\) при измерении длины \(2\ \text{м}\) соответствует \(10\%\), а при измерении длины \(20\ \text{м}\) — только \(1\%\). Поэтому для сравнения качества разных измерений удобнее пользоваться относительной погрешностью.

Среднее значение серии измерений

Если величину измерили \(n\) раз и получили значения \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), наиболее надёжной оценкой при случайных отклонениях служит среднее арифметическое.

\[x_{\text{ср}}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\]

Отклонения отдельных результатов от среднего можно использовать для оценки случайной составляющей погрешности. В школьных задачах обычно дополнительно дано правило: взять половину размаха, среднее отклонение или цену деления прибора. Всегда следуйте условию задачи.

Как записывать результат измерения

Результат записывают в виде значения с абсолютной погрешностью:

\[x = (x_{\text{изм}} \pm \Delta x)\ \text{единица}\]

Такая запись означает, что истинное или принятое за истинное значение находится примерно в интервале

\[x_{\text{изм}}-\Delta x \le x \le x_{\text{изм}}+\Delta x\]

Например, запись \(m=(250\pm5)\ \text{г}\) означает диапазон от \(245\ \text{г}\) до \(255\ \text{г}\). Число и погрешность должны быть записаны согласованно: нельзя указывать много лишних цифр, если прибор не позволяет измерить их точно. Правила значащих цифр и округления подробно рассматриваются на страницах значащие цифры и округление измеренных значений, а итоговый формат — на странице запись результата измерения.

Частые ошибки

1. Путать абсолютную и относительную погрешности: \(0{,}5\ \text{см}\) — абсолютная, \(5\%\) — относительная. 2. Приписывать единицу относительной погрешности: у неё нет единицы. 3. Считать, что повторение опыта устраняет систематическую ошибку. 4. Сравнивать абсолютные погрешности величин с разными масштабами вместо относительных. 5. Записывать результат как \(x\pm\Delta x\) без единиц или с чрезмерным количеством цифр.

Разобранный пример

Линейкой с ценой деления \(1\ \text{мм}\) измерили длину карандаша и получили \(l=17{,}4\ \text{см}\). Считать абсолютную погрешность равной половине цены деления. Найдите относительную погрешность и правильно запишите результат.

Показать решение Решение

Переведём цену деления в сантиметры: \(1\ \text{мм}=0{,}1\ \text{см}\). По условию берём половину цены деления.

\(\displaystyle \Delta l=\frac{0{,}1\ \text{см}}{2}=0{,}05\ \text{см}\)

Найдём относительную погрешность как отношение абсолютной погрешности к измеренному значению.

\(\displaystyle \varepsilon=\frac{\Delta l}{l}=\frac{0{,}05}{17{,}4}\approx0{,}0029\)

Переведём результат в проценты.

\(\displaystyle \varepsilon_{\%}\approx0{,}0029\cdot100\%\approx0{,}29\%\)

Запишем измерение с единицей длины и погрешностью.

\(\displaystyle l=(17{,}4\pm0{,}05)\ \text{см}\)

№

Ответ

Абсолютная погрешность равна \(0{,}05\ \text{см}\), относительная — примерно \(0{,}29\%\), результат: \(l=(17{,}4\pm0{,}05)\ \text{см}\).

Как решать задачи на погрешность

Определите, что измеряется и каким прибором или методом получен результат.
Проверьте единицы всех величин и при необходимости приведите их к одной системе.
Найдите правило оценки абсолютной погрешности: оно может быть связано с ценой деления, паспортом прибора или серией измерений.
Вычислите относительную погрешность, если она требуется.
Округлите значение и погрешность согласованно.
Запишите ответ в форме \(x=(x_{\text{изм}}\pm\Delta x)\) с единицей измерения.

Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · Относительная погрешность

Какова относительная погрешность измерения \(x=(20\pm1)\ \text{м}\)?

Главное за минуту

Главное

Погрешность показывает отличие результата измерения от истинного или принятого за истинное значения.
Систематическая погрешность закономерна и не устраняется усреднением; случайная меняется от опыта к опыту и уменьшается при повторных измерениях.
Абсолютная погрешность имеет единицу измеряемой величины, относительная равна отношению абсолютной погрешности к измеренному значению.
Относительная погрешность вычисляется по формуле \(\varepsilon=\frac{\Delta x}{|x|}\), а в процентах — умножением на \(100\%\).
Результат записывают как \(x=(x_{\text{изм}}\pm\Delta x)\) с единицей измерения и согласованным округлением.