ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 1, 14 · ЕГЭ

Основные тригонометрические тождества

Система основных тождеств, формул и приёмов преобразования тригонометрических выражений
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Тригонометрические тождества — это равенства, верные при всех допустимых значениях переменной. Они помогают упростить выражение, привести его к нужному виду и подготовиться к решению заданий ЕГЭ-1 и ЕГЭ-14.

Что такое тригонометрическое тождество

Тождество отличается от уравнения тем, что его не нужно решать: требуется доказать или использовать равенство, верное на всей области определения. При преобразовании нельзя забывать об ограничениях: знаменатель не равен нулю, а аргументы тангенса и котангенса не должны делать эти функции неопределёнными.

D
Определение

Тригонометрическое тождество — равенство, справедливое для всех значений переменной, при которых определены обе его части.

Начинать преобразование обычно удобнее с той части, которая выглядит сложнее. Цель — свести выражение к одной функции, раскрыть скобки, воспользоваться формулой или привести дроби к общему знаменателю.

Что повторить заранее

Тригонометрическая окружность помогает понимать знаки функций и значения синуса и косинуса в разных четвертях. Это особенно важно, когда в выражении есть угол, например \(\pi-\alpha\) или \(\pi+\alpha\).

Базовые тождества

Главное равенство связывает синус и косинус одного угла. Из него получают большинство преобразований. Важно не путать квадрат функции с функцией от квадрата: \(\sin^2 x\) означает \((\sin x)^2\), а не \(\sin(x^2)\).

\[\sin^2 x+\cos^2 x=1\]1
T
Основное тригонометрическое тождество

Для любого действительного \(x\) верно \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\). Из него следуют равенства \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) и \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\).

\[1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\qquad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}\]2

Последние два тождества используют вместе со связями тангенса и котангенса с синусом и косинусом. Подробнее эти связи разобраны на страницах тангенс через синус и косинус и котангенс через синус и косинус.

\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \tan x\cdot\cot x=1\]3

В формулах (2) и (3) предполагается, что соответствующие знаменатели не равны нулю. Иногда удобно заменить тангенс дробью через синус и косинус, а иногда — наоборот, свернуть дробь в тангенс.

i
Обратные функции

Секанс и косеканс встречаются реже, но выражаются так: \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) и \(\csc x=\frac{1}{\sin x}\). См. секанс и косеканс.

Знаки и связанные углы

При преобразовании выражений часто встречаются противоположные и дополнительные углы. Знак функции определяется четвертью, а при переходе от \(x\) к \(-x\) используются свойства чётности.

\[\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x,\qquad \tan(-x)=-\tan x\]4

Синус и тангенс — нечётные функции, косинус — чётная функция. Поэтому минус внутри аргумента можно вынести перед синусом или тангенсом, но нельзя выносить перед косинусом. Полный набор правил приведён в статье чётность тригонометрических функций.

\[\sin(\pi-x)=\sin x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \tan(\pi-x)=-\tan x\]5
\[\sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \tan(\pi+x)=\tan x\]6

Удобный алгоритм: сначала преобразуйте угол к виду \(\pm x+ k\pi\) или \(\pm x+2k\pi\), затем определите знак и оставьте основную функцию. Не меняйте функцию без основания: синус не превращается в косинус только потому, что угол записан иначе.

Проверь себя

Как упростить выражение \(\sin(-x)+\cos(-x)\)?

Алгоритм преобразования выражений

Для большинства заданий подходит следующий порядок действий:

  1. Определите, какой вид должен получиться: число, одна функция, дробь или выражение без скобок.
  2. Проверьте область допустимых значений и не сокращайте выражение там, где знаменатель может быть равен нулю.
  3. Замените тангенс и котангенс через синус и косинус, если это делает дробь удобнее.
  4. Примените основное тождество, вынеся подходящий множитель или представив \(1\) как \(\sin^2 x+\cos^2 x\).
  5. Приведите дроби к общему знаменателю, разложите числитель или знаменатель на множители.
  6. Сократите и проверьте, не появились ли лишние значения из-за недопустимых преобразований.
Как выбрать замену

Если есть \(1-\sin^2 x\), заменяйте его на \(\cos^2 x\). Если есть \(1-\cos^2 x\), заменяйте на \(\sin^2 x\). Дробь \(\frac{\sin x}{\cos x}\) удобно превратить в \(\tan x\), а выражение \(\frac{1}{\cos^2 x}-1\) — в \(\tan^2 x\).

Разобранный пример

Упростим выражение и укажем ограничения:

\[E=\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}.\]

Здесь исходное выражение определено при \(\sin x\ne0\) и \(\cos x\ne0\). Первый член преобразуем по основному тождеству, затем приведём дроби к общему знаменателю.

1
Заменяем \(1-\cos^2 x\) на \(\sin^2 x\) по основному тождеству.
\(\displaystyle E=\frac{\sin^2 x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}\)
2
Сокращаем первый дробный член; это допустимо, поскольку в исходной области \(\sin x\ne0\).
\(\displaystyle E=\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}\)
3
Выносим \(\sin x\) за скобки.
\(\displaystyle E=\sin x\left(1+\frac{1}{\cos x}\right)\)
4
Приводим выражение в скобках к общему знаменателю.
\(\displaystyle E=\sin x\cdot\frac{\cos x+1}{\cos x}\)
5
Получаем упрощённый вид; дополнительно можно заменить \(\frac{\sin x}{\cos x}\) на тангенс.
\(\displaystyle E=\sin x+\tan x\)
№
Ответ к примеру

\(E=\sin x+\tan x\), при условиях \(\sin x\ne0\) и \(\cos x\ne0\). Сокращение \(\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x\) допустимо только потому, что ограничение \(\sin x\ne0\) было видно из исходной дроби.

Формулы, которые применяются чаще всего

Если в выражении есть сумма или разность углов, используйте формулы сложения, а не раскрывайте аргумент случайным образом. Они особенно полезны при точных значениях углов и доказательстве тождеств.

\[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\]7
\[\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\]8
\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\]9

Из формул сложения выводятся формулы двойного и половинного угла. Например, при \(\beta=\alpha\) получаются \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) и \(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\). Подробнее: формулы сложения, формулы двойного угла и формулы половинного угла.

\[\sin 2x=2\sin x\cos x,\qquad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1\]10

Для выражений вида \(\sin\alpha+\sin\beta\) или \(\cos\alpha-\cos\beta\) полезны формулы преобразования суммы в произведение. Произведение синусов или косинусов, наоборот, можно превратить в сумму по формулам преобразования произведения в сумму.

!
Частые ошибки

1. Пишут \(\sin^2x+\cos^2x=2\) вместо \(1\). 2. Считают, что \(\sin(a+b)=\sin a+\sin b\) — это неверно. 3. Теряют квадрат: \(1-\cos^2x\) нельзя заменить на \(1-\cos x\). 4. Сокращают на выражение, которое может быть равно нулю. 5. При формуле косинуса суммы забывают знак: \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\). 6. Заменяют \(\tan x\) на \(\frac{\cos x}{\sin x}\) вместо правильного \(\frac{\sin x}{\cos x}\).

Как действовать в экзаменационном задании

В заданиях на вычисление значения выражения сначала найдите известную тригонометрическую функцию, затем получите недостающую из основного тождества. Знак выбирайте по условию или по четверти. Если дано, например, \(\cos x=\frac35\) и угол острый, то \(\sin x=\frac45\), а не \(-\frac45\).

В заданиях на преобразование не раскрывайте всё подряд. Отмечайте знакомые фрагменты: \(\sin^2x+\cos^2x\), \(1-\sin^2x\), \(\frac{\sin x}{\cos x}\), \(1+\tan^2x\). Чем короче цепочка равенств, тем меньше риск ошибки.

  • Записаны ли ограничения на знаменатели?
  • Верно ли выбран знак корня?
  • Не перепутаны ли квадрат функции и функция от квадрата?
  • Получен ли ответ в требуемом виде?
Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · Основное тождество
Чему равно \(1-\sin^2x\)?
Главное за минуту

Главное

  • Основное тождество: \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
  • Тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус: \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\).
  • Синус и тангенс нечётные, косинус чётный.
  • При преобразовании сначала определите цель, затем применяйте тождество, приводите дроби к общему знаменателю и контролируйте ограничения.
  • Формулы сложения, двойного и половинного угла помогают раскрывать сложные аргументы и выводятся из базовых тождеств.