Котангенс через синус и косинус
Котангенс угла — это отношение косинуса этого угла к его синусу. Поэтому котангенс можно найти, разделив \(\cos\alpha\) на \(\sin\alpha\), если синус не равен нулю.
Формула котангенса
Для любого угла, при котором \(\sin\alpha\ne0\), используйте формулу связи с тангенсом и основными тригонометрическими функциями:
Котангенс не определён при \(\sin\alpha=0\), то есть при \(\alpha=\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\). При этом тангенс, наоборот, не определён там, где \(\cos\alpha=0\). Эти ограничения важно проверять до подстановки чисел.
Пусть \(\sin\alpha=\frac{1}{2}\) и \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\). Значит, котангенс равен \(\sqrt{3}\).
Тангенс и котангенс — взаимно обратные величины: \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), а \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Нельзя менять местами синус и косинус без изменения функции.
Чему равен \(\operatorname{ctg}\alpha\), если \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) и \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)?
Формулы с котангенсом входят в систему основных тригонометрических тождеств. Для преобразований выражений полезно также помнить основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
Главное
- \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) при \(\sin\alpha\ne0\).
- Котангенс — величина, обратная тангенсу: \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).
- Котангенс не определён при \(\alpha=\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).