Свойства трапеции
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. В этом конспекте собраны свойства, позволяющие классифицировать четырёхугольники, находить углы и стороны трапеции и решать экзаменационные задачи.
Элементы трапеции и классификация
Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB\parallel CD\). Параллельные стороны называют основаниями: \(AB\) и \(CD\). Непараллельные стороны \(AD\) и \(BC\) называют боковыми сторонами. Отрезок, перпендикулярный основаниям и соединяющий их, — высота \(h\). Расстояние между параллельными основаниями равно длине любой высоты.
Трапеция — четырёхугольник с одной парой параллельных сторон. В школьных задачах обычно рассматривают выпуклую трапецию. Если параллельными являются две пары сторон, это уже параллелограмм, а не трапеция в традиционном школьном смысле.
По дополнительным свойствам выделяют специальные виды трапеций. Равнобедренная трапеция имеет равные боковые стороны: \(AD=BC\). Прямоугольная трапеция имеет прямой угол; тогда одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и является высотой. Если дополнительных условий нет, трапецию называют произвольной.
| Вид трапеции | Главное свойство | Что ещё следует |
|---|---|---|
| Произвольная | \(AB\parallel CD\) | Углы при каждой боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\) |
| Равнобедренная | \(AD=BC\) | Углы при каждом основании равны, диагонали равны |
| Прямоугольная | Один угол равен \(90^\circ\) | Два угла равны \(90^\circ\), боковая сторона — высота |
Углы трапеции
Так как основания \(AB\) и \(CD\) параллельны, боковая сторона \(AD\) является секущей. Поэтому внутренние односторонние углы при ней supplementary: \(\angle A+\angle D=180^\circ\). Аналогично для боковой стороны \(BC\): \(\angle B+\angle C=180^\circ\).
В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна \(180^\circ\). Сумма всех внутренних углов любой трапеции, как и любого четырёхугольника, равна \(360^\circ\).
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: \(\angle A=\angle B\) и \(\angle D=\angle C\). Поэтому достаточно знать один угол: остальные находятся с помощью равенства углов или свойства смежных углов.
Не следует считать равными все углы трапеции. В обычной трапеции равны только пары углов, если есть специальное условие, например равенство боковых сторон. Всегда проверяйте, дана ли трапеция равнобедренная или прямоугольная.
В трапеции \(AB\parallel CD\), \(\angle A=68^\circ\). Чему равен угол \(D\)?
Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Если \(M\) — середина \(AD\), а \(N\) — середина \(BC\), то \(MN\) — средняя линия. Она параллельна основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Эта теорема связана со средней линией треугольника: если провести диагональ трапеции, среднюю линию можно рассматривать через средние линии двух треугольников. Подробный вывод и задачи на отрезок \(MN\) разобраны на странице средняя линия трапеции.
Если известны средняя линия \(m\) и одно основание \(a\), второе основание равно \(2m-a\). Это сразу получается из формулы \(m=\frac{a+b}{2}\).
Длины, высота и специальные случаи
Высота трапеции не обязана совпадать с боковой стороной. Это происходит только в прямоугольной трапеции. Если из вершины меньшего основания опустить высоты на большее основание, трапеция разбивается на прямоугольный треугольник, прямоугольник и, возможно, ещё один прямоугольный треугольник. Такое разбиение помогает применять теорему Пифагора.
В этой формуле \(\ell\) — боковая сторона, а \(x\) — горизонтальная проекция этой стороны на основание. Знак и конкретное значение \(x\) зависят от расположения вершин и разности оснований.
У равнобедренной трапеции ось симметрии перпендикулярна основаниям и проходит через их середины. Поэтому разность оснований делится поровну: каждая проекция боковой стороны равна \(\frac{|CD-AB|}{2}\). Если боковая сторона равна \(c\), высота находится по формуле:
Для площадей используется формула площади трапеции: \(S=\frac{a+b}{2}\cdot h\). Она показывает, почему средняя линия удобна: площадь равна произведению средней линии на высоту, то есть \(S=MN\cdot h\).
Разобранный пример
В равнобедренной трапеции основания равны \(14\) см и \(26\) см, боковая сторона — \(10\) см. Найдите высоту и площадь.
Ответ: высота равна \(8\) см, площадь — \(160\text{ см}^2\). Проверка полезна: средняя линия равна \(\frac{14+26}{2}=20\) см, поэтому \(S=20\cdot8=160\text{ см}^2\).
1. Подставлять в формулу площади боковую сторону вместо высоты. 2. Забывать делить разность оснований пополам в равнобедренной трапеции. 3. Использовать свойство равнобедренной трапеции без условия \(AD=BC\). 4. Называть средней линией отрезок, соединяющий середины оснований: средняя линия соединяет середины боковых сторон.
Алгоритм решения задач и связи с другими темами
- Отметьте основания и установите, какие стороны параллельны.
- Проверьте специальные условия: равенство боковых сторон или наличие прямого угла.
- Для углов примените сумму односторонних углов \(180^\circ\).
- Для средней линии используйте полусумму оснований.
- Для высоты и боковой стороны постройте перпендикуляры и примените теорему Пифагора.
- Для площади подставьте именно основания и высоту.
Трапеция входит в общую классификацию четырёхугольников вместе с ромбом, прямоугольником и параллелограммом. Поэтому важно начинать решение с определения параллельности сторон, а затем использовать дополнительные признаки. Задачи на диагонали вынесены на страницу диагонали трапеции, а угловые конфигурации — на страницу углы трапеции.
Быстрая проверка
Главное
- Основания трапеции параллельны, боковые стороны не параллельны; высота перпендикулярна основаниям.
- Суммы углов при каждой боковой стороне равны \(180^\circ\).
- Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме: \(m=\frac{a+b}{2}\).
- В равнобедренной трапеции равны боковые стороны и углы при каждом основании.
- В прямоугольной трапеции одна боковая сторона является высотой.
- Для нахождения неизвестной высоты часто используют прямоугольный треугольник и теорему Пифагора.